Ортогональні функції
Ортогональні функції в математиці належать функційному простору (це векторний простір з білінійною формою). Якщо областю визначення функцій цього простору є інтервал, білінійну форму можна визначити як інтеграл на інтервалі для добутку цих функцій:
Функції та є ортогональними, коли інтеграл рівний нулю, тобто, при . Подібно до базису векторів скінченно-вимірного простору, ортогональні функції можуть утворювати нескінченний базис функційного простору. Описаний інтеграл є аналогом скалярного добутку векторів.
Деякі набори ортогональних функцій є стандартним базисом для апроксимації функцій.
Наприклад, функції sin nx та sin mx є ортогональними на інтервалі для , де n та m є натуральними числами. Тоді
тому інтеграл добутку двох синусів рівний нулю.[1] Разом із функціями косинус, ці ортогональні функції можуть бути звбрані в тригонометричний многочлен, щоб апроксимувати задану функцію на інтервалі своїм рядом Фур'є.
Якщо для послідовності многочленів на ітервалі застосувати процес Грама — Шмідта, то отримаємо Поліноми Лежандра. Ще одним прикладом ортогональних поліномів є Приєднані функції Лежандра.
Для ортогоналізації, вагова функція може вставлятись в таку білінійну форму:
Поліноми Лаґерра на мають вагову функцію .
В фізиці та теорії ймовірностей Поліноми Ерміта на , мають вагові функції та , відповідно.
Поліноми Чебишова визначені на мають вагові функції та .
Поліноми Зерніке визначені на одиничному крузі мають ортогональність радіальних та кутових частин.
Функція Уолша and Гаарів вейвлетє прикладами ортогональних функцій з дискретними значеннями.
Поліноми Лежандра та Чебишева є ортогональними системами на інтервалі [−1, 1], але деколи потрібні ортогональні системи на [0, ∞). Тоді застосовують Перетворення Келі, щоб перевести область визначення до [−1, 1]. Так утворюються сімейства раціональних ортогональних функцій, що називаються called раціональні функції Лежандра та раціональні функції Чебишева .
Розв'язок лінійних диференціальних рівнянь з крайовими умовами є середнє зважене ортогональних розв'язків (a.k.a. власних функцій), тобто це узагальнене перетворення Фур'є .
- Власні вектори та власні значення
- Гільбертів простір
- Теорема Карунена — Лоева
- Теорема Лаурічелла
- Функції Ваньє
- ↑ Антоній Зигмунд (1935) Тригонометричні ряди, сторінка 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw
- George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
- Price, Justin J. (1975). Topics in orthogonal functions. American Mathematical Monthly. 82: 594—609. doi:10.2307/2319690.
- Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.
- Weisstein, Eric W. Ортогональні функції(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.