Особлива точка

Особлива точка — точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.

Для багатозначних аналітичних функцій до особливих точок також відносять точки розгалужень.

Можливі дві класифікації особливих точок. Перша по теоретико-множинним властивостям:

• ізольована особлива точка — точка, для якої існує проколотий окіл, в якому ця функція аналітична.
• неізольована особлива точка — особлива точка, що не є ізольованою.

Види особливостей

• усувна особлива точка — точка, в якій функція не визначена, але границя функції існує і вона скінченна, отже, в цій точці функцію можна доповнити по неперервності.
• полюс — точка, в якій границя нескінченна. При розгляді функції як відображення не в комплексну площину, а на сферу Рімана, полюс не вважають особливою точкою (див. мероморфна функція).
• суттєво особлива точка — точка, в якій границя функції не визначена.

Особливі точки на ріманових поверхнях

Особливі точки також можна розглядати у голоморфних функцій, визначених на ріманових поверхнях. Зокрема, якщо змінна z пробігає сферу Рімана, то особливість на нескінченності функції $\ f(x)$ визначається за степенем «особливості» точки 0 для функції $F(w)=f\left({\frac {1}{w}}\right)$.

Див. також

• Особлива точка кривої
• Особливість
• Лишок
• Ряд Лорана
• Аналітичне продовження

Джерела

• Привалов І.І.. Вступ до теорії функцій комплексного змінного. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 381 с.(укр.)
• Соколов Ю.Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1954. — 202 с.(укр.)
• Давидов М.О. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1968. — 212 с.(укр.)
• Грищенко О.Ю., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: : Вища школа, 1994. — 375 с.(укр.)
• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.(укр.)
• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (PDF) (англ.) (вид. 3rd.). McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.(англ.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)