Осциляції Зенера — Блоха

Осциляції Зенера — Блоха — коливання частинки, що рухається в періодичному потенціалі, під дією постійної сили. Прикладом системи, в якій можуть реалізуватися такі коливання, є кристалічне тверде тіло. В реальних кристалах створити умови для спостереження осциляцій Зенера-Блоха важко, однак вони спостерігалися в штучних системах — надґратках.

Кларенс Зенер розглянув такі коливання для електронів кристалу в зовнішньому електричному полі. Фелікс Блох узагальнив теорію на випадок будь-яких частинок та будь-яких сил.

Напівкласична теорія

Якщо знехтувати міжзонними переходами електронів в присутності зовнішнього електричного поля $\mathbf {E}$, то зміна квазі-імпульсу електрона $\mathbf {k}$ визначається другим законом Ньютона:

$\hbar \;{\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {E}$,

де $\quad e$ — елементарний електричний заряд. У відсутності зіткнень електрон проходить по всій зоні Брілюена, відбивається від її границі, знову пересікає зону, і знову відбивається на границі. Таким чином, незбурений рух електрона в зоні під дією постійного поля має характер осциляцій у $\mathbf {k}$- просторі, і, як наслідок, у звичайному просторі.

Нехай поле $\mathbf {E}$ направлене вздовж вектора оберненої ґратки $\mathbf {K}$, який визначає положення границі зони Брілюена, що відбиває електрони. За одну осциляцію електрон проходить відстань $K$. Якщо $K={\frac {2\pi }{a}}$, де $a$ — період елементарної комірки, то циклічна частота коливань дорівнює:

$\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}$.

Оскільки $a\approx \;3\mathrm {\AA}$ , для поля $2\cdot 10^{5}$ В/см² частота становить близько 10⁻¹³ Гц. Осциляції обмежені в просторі, а центр осциляцій знаходиться в певній комірці. В такій ситуації потенціал збурення $e\mathbf {E} \mathbf {r}$ видозмінює енергетичні рівні в зоні. І виникають стани, енергія яких відрізняється на величину $eEa$, виникає східцева зміна енергії вздовж країв зони. Рівні енергії створюють т. з. штарківську драбину, названу так, оскільки її виникнення нагадує ефект Штарка в атомній фізиці. Ясно, що амплітуда $L_{z}$, просторових осциляцій визначається шириною зони $W_{b}$:

$L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}$

Оскільки на елементарну комірку приходиться один стан, то загальна кількість осциляцій залишається незмінною, проте інтервали між сусідніми рівнями енергії залишаються скінченними і однаковими.

Квантова теорія

Хвильова функція електрона в стані Зенера — Блоха, очевидно, відрізняється від плоскої хвилі, оскільки $\mathbf {k}$ вже не є хорошим квантовим числом. Розглядаючи прикладений потенціал, як збурення:

${\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{z}$,-

$\psi _{z}={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{k}(\mathbf {r} )$,

де $\psi _{k}(\mathbf {r} )$ — зонні функції Блоха. Теорія збурень дає

$c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}$

Матричний елемент зручніше всього обчислювати, враховуючи

$\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\Delta _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )$

Переходячи від сумування по $\mathbf {k}$ до інтегрування за допомогою співвідношення

$\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k} \mathbf {k}$,

та інтегруючи частинами, використовуючи властивість ортогональності плоских хвиль:

$\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}$

звідки похідні

${\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}$,

а також

$c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d\mathbf {k} \right\rbrace$

Для того, щоб періодичність хвильової функції зберігалась, функція $c_{k}$ повинна бути періодичною. Якщо покласти

$W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),$

де $W_{k}=W_{0}$ — енергія центра зони, то із умови періодичності витікає рівність енергій

$W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),$,

де $n'$ — ціле число, а $\mathbf {a}$ — вектор елементарної комірки. Таким чином, стан, якому відповідає власне значення $W_{z}$, локалізований у просторі біля елементарної комірки, розташованої в точці $n'\mathbf {a}$, звідки покладаючи $n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$

$c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac {iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace$

Хвильові функції Блоха тут будуть

$\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r} )\exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\right\rbrace .$

Тепер можна використати просту модель, яка описує зону в напрямі поля $\mathbf {E}$:

$W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka\,$,

$-{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a}},$,

де $W_{b}$- ширина зони. Далі припускаємо, що функція $u_{k}(\mathbf {r} )$ не залежить від $\mathbf {k}$. Тоді

$\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \left\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =$

$=c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),n=(x_{0}-x)/a,$

де $J_{n}(z)$ — функція Бесселя, $n$ — ціле число, а поле направлене вздовж осі $x$. Біля точки $x=x_{0}$ функція $J_{n}(z)$ веде себе подібно до стоячої хвилі із хвильовим вектором величини $\pi /2a$, тобто довжина хвильового вектора рівна половині відстані від центру зони Брілюена до її границі. Коли $|x_{0}-x|\gg \;a$, асимптотичний розклад дає

$J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a}}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}-x|}}\right)^{|x_{0}-x|/a}$

де $L_{z}$ — класична амплітуда просторових осциляцій, а $e_{n}$ — основа натуральних логарифмів. Ясно, що при $|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$ хвильова функція дуже швидко затухає. Вона зменшується і при $|x_{0}-x|\to 0$, досягаючи максимуму при $|x_{0}-x|=L_{z}/2$. Поведінка цієї хвильової функції якісно схожа на поведінку гармонічного осцилятора — вона зростає біля кінців відрізка, які відповідають класичним точкам повороту. Для того, щоб спостерігати це явище необхідно задовольнити умови

$\omega _{z}\tau >1,$

де $\tau$ — час між зіткненнями. Як правило розрахунок часу $\tau$ проводять для станів, близьких до країв зони. Типові значення для $\tau$ близько $10^{-13}$. Таким чином, електрон що здійснює коливання Зенера — Блоха, більшу частину часу перебуває біля країв зони, і тому розумно прийняти оцінку часу близько 10⁻¹³ c. Для цього необхідно створити поля більші за 2·10⁵ В/см. В багатьох випадках таке сильне поле може привести до пробою напівпровідника.

Література

• Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — М. : Мир, 1986. — 304 с.
• Zener C. -Proc.Roy.Soc. A, 1934,v.145,p.523.

Див. також

• Рівні Ландау
• Квантовий осцилятор
• Осциляції Блоха