П'ятикомірник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
П'ятикомірник
Schlegel wireframe 5-cell.png

Діаграма Шлегеля: проекція (перспектива) п'ятикомірника в тривимірний простір

Тип Правильний чотиривимірний политоп
Символ Шлефли {3,3,3}
Осередків 5
Граней 10
Ребер 10
Вершин 5
Вершинна фігура Правильний тетраедр
Двоїстий политоп Він же (самодвойственный)
Проекція обертового п'ятикомірника в тривимірний простір

П'ятикомірник[1], або пентахор (від дав.-гр. πέντε — «п'ять» і χώρος — «місце, простір»), — один з правильних многоячейников в чотиривимірному просторі: правильний чотиривимірний симплекс.

Відкритий Людвігом Шлефли в середині 1850-х років[2]. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Є подвійним сам собі. На відміну від п'яти інших правильних многоячейников, не має центральної симетрії.

Опис[ред. | ред. код]

Обмежений 5 тривимірними осередками — однаковими правильними тетраедрами. Будь-які дві клітинки — суміжні; кут між ними дорівнює

Його 10 двовимірних граней — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 примикають до неї осередку.

Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 межі і по 3 клітинки.

Має 5 вершин. В кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 клітинки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь 3 вершини належать одній грані; будь-4 вершини належать одній клітинці.

Пятиячейник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з тетраэдрическим підставою.

У координатах[ред. | ред. код]

Перший спосіб розташування[ред. | ред. код]

Пятиячейник можна розмістити у декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати

При цьому точка буде центром вписаною, описаної і полувписанных тривимірних гиперсфер.

Другий спосіб розташування[ред. | ред. код]

У пятимерном просторі можливо розмістити пятиячейник так, щоб всі його вершини мали цілі координати:

Центром вписаною, описаної і полувписанных гиперсфер при цьому буде точка

Ортогональні проекції на площину[ред. | ред. код]

4-simplex t0.svg
4-simplex t0 A3.svg
4-simplex t0 A2.svg


Метричні характеристики[ред. | ред. код]

Якщо пятиячейник має ребро довжини то його чотиривимірний гиперобъем і тривимірна гиперплощадь поверхні виражаються відповідно як

Радіус описаної тривимірної гиперсферы (що проходить через усі вершини многоячейника) при цьому буде дорівнює

радіус зовнішньої полувписанной гиперсферы (стосується всіх ребер в їх серединах) — : радіус внутрішньої полувписанной гиперсферы (стосується всіх граней в їх центрах) — : радіус вписаного гиперсферы (стосується всіх комірок в їх центрах) — :

Неправильні пятиячейники[ред. | ред. код]

Іноді словом «пятиячейник» може позначатися не тільки правильний, а й довільний чотиривимірний симплекс.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос.)
  2. George Olshevsky. Архів оригіналу за 7 лютий 2007. Процитовано 7 лютий 2007. 

Посилання[ред. | ред. код]