П'ятикомірник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
П'ятикомірник
Schlegel wireframe 5-cell.png

Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) п'ятикомірника в тривимірний простір

Тип Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі {3,3,3}
Комірок 5
Граней 10
Ребер 10
Вершин 5
Вершинна фігура Правильний тетраедр
Двоїстий політоп Він же (самодвоїстий)
Проєкція п'ятикомірника в тривимірний простір

П'ятикомірник[1], або пентахор[2] (від дав.-гр. πέντε — «п'ять» і χώρος — «місце, простір»), — один з правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі: правильний чотиривимірний симплекс.

Відкритий Людвігом Шлефлі в середині 1850-х років[3]. Символ Шлефлі п'ятикомірника — {3,3,3}.

Є двоїстим сам собі. На відміну від п'яти інших правильних багатокомірників, не має центральної симетрії.

Використовується у фізико-хімічному аналізі для вивчення властивостей багатокомпонентних систем[4].

Опис[ред. | ред. код]

Обмежений 5 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Будь-які дві комірки — суміжні; кут між ними дорівнює

Його 10 двовимірних граней — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані й по 3 комірки.

Має 5 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 комірки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь-які 3 вершини належать одній грані; будь-які 4 вершини належать одній комірці.

П'ятикомірник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з тетраедричною основою.

У координатах[ред. | ред. код]

Перший спосіб розташування[ред. | ред. код]

П'ятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати

При цьому точка буде центром вписаної, описаної і піввписаної тривимірних гіперсфер.

Другий спосіб розташування[ред. | ред. код]

У п'ятивимірному просторі можливо розмістити п'ятикомірник так, щоб усі його вершини мали цілі координати:

Центром вписаної, описаної і напіввписаної гіперсфер при цьому буде точка .

Ортогональні проєкції на площину[ред. | ред. код]

4-simplex t0.svg
4-simplex t0 A3.svg
4-simplex t0 A2.svg

Метричні характеристики[ред. | ред. код]

Якщо п'ятикомірник має ребро довжини то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому буде дорівнює

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) —

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх граней у їхніх центрах) —

радіус вписаної гіперсфери (дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) —

Неправильні п'ятикомірники[ред. | ред. код]

Іноді словом «п'ятикомірник» може позначатися не тільки правильний, але й довільний чотиривимірний симплекс.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Благодаренко Л. Ю.; Ротозей А. О. Висвітлення проблеми квантової гравітації в курсі фізики педагогічних університетів (укр.). НПУ імені М. П. Драгоманова. с. 6. Процитовано 29 січня 2021. 
  2. Андрашко, Юрій. Інформаційна технологія оцінювання результатів наукової діяльності на основі проєктно-векторних моделей (укр.). Київський національний університет будівництва і архітектури. с. 8. Процитовано 29 січня 2021. 
  3. George Olshevsky. Архів оригіналу за 7 лютого 2007. Процитовано 7 лютого 2007. 
  4. Александр Семёнов. Многогранный пентатоп // Наука и жизнь. — 2018. — № 5. — С. 66—74.

Посилання[ред. | ред. код]