Панцифрове число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Панцифрове число — ціле число, для якого в заданій основі серед значимих цифр зустрічається кожна цифра цієї основи хоча б раз. Наприклад 1 223 334 444 555 567 890 — панцифрове число з основою 10. Декілька перших панцифрових десяткових чисел:[1]

1 023 456 789, 1 023 456 798, 1 023 456 879, 1 023 456 897, 1 023 456 978, 1 023 456 987, 1 023 457 689

Найменше панцифрове число при заданій основі b в десятковому записі можна отримати формулою:[2]

Далі наведено кілька найменших панцифрових чисел для певних основ:

Основа Найменше панцифрове Десяткове значення
1 1 1
2 10 2
3 102 11
4 1 023 75
8 10234567 2 177 399
10 1 023 456 789 1 023 456 789
12 1023456789AB 754 777 787 027
16 1023456789ABCDEF 1 162 849 439 785 405 935
36 1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 2 959 962 226 643 665 039 859 858 867 133 882 191 922 999 717 199 870 715
Римське
числення
MCDXLIV 1 444

В тривіальному сенсі, усі додатні цілі числа з основою 1 є панцифровими. В бінарному записі усі цілі числа панцифрові окрім 0 і чисел Мерсенна — . Чим більша основа, тим рідше зустрічаються панцифрові числа, хоча завжди можна знайти послідовність записавши всі цифри основи (не ставлячи нуль на перше місце), і додати певну кількість нулів до кінця числа.

І навпаки, чим менша основа, тим менше існує панцифрових чисел з неповторними цифрами. Єдине таке число для основи 2 це 2, але їх більше для основи 10.

В деяких випадках термін використовують для позначення тільки чисел з неповторними цифрами. Іноді число називають панцифровим навіть якщо воно не має нуля як значимої цифри, наприклад, 923 456 781.

Панцифрове число з основою 10 не може бути простим якщо воно не містить повторних цифр. Сума від 0 до 9 дорівнює 45, що задовільняє ознаку подільності для 3 і 9. Перше просте панцифрове число з основою 10 це 10 123 457 689.[3]

Повторні цифри також мають бути присутні якщо панцифрове число є паліндромним[en] (в усіх базах окрім унарної). Найменше панцифрове паліндромне число в базі 10 є 1 023 456 789 876 543 201.

Найбільше панцифрове число без повторних чисел яке також є квадратом рівне 9 814 072 356.

Два панцифрових числа Фрідмана без нуля є 123 456 789 = ((86 + 2 × 7)5 — 91) / 34, і 987 654 321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 34.

Хоча більшість сказаного не розповсюджується на римське числення, панцифрові числа наявні і в ньому: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI.[4]

Панцифрові числа використовуються у фантастиці і рекламі. Номер соціального страхування[en] 987-65-4321 — зарезервоване панцифрове число для використання в рекламі. Деякі компанії використовують панцифрові числа з повторними цифрами для кредитних карток що використовуються для прикладу (інші використовують рядок нулів).

Приклади панцифрових чисел з основою 10[ред. | ред. код]

  • 123 456 789 — перше панцифрове число без нуля.
  • 3 816 547 290 — єдине панцифрове число в якому перші n цифр діляться на n.
  • 9 876 543 210 — Найбільше панцифрове число без повторюваних цифр.
  • 1 023 456 789 — Перше панцифрове число.
  • 9 814 072 356 — Найбільший панцифровий квадрат без повторних цифр (квадрат 99 066).
  • 12 345 678 987 654 321 — Панцифрове число з усіма цифрами окрім нуля в зростаючому і спадаючому порядку. Квадрат 111 111 111. Також є паліндромом.

Посилання[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. послідовність A050278 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
  2. OEISA049363 — найменші панцифрові числа в десятковому записі для перших 18 основ.
  3. OEISA050288 — список простих панцифрових чисел з основою 10.
  4. OEISA105416, OEISA105417 — списки панцифрових чисел в римському записі.