Парабола

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Parabola.svg

Пара́бола (від грец. παραβολή) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку.

Точка зветься фокусом, а пряма — директрисою.

Парабола, гіпербола та еліпс є конічними перерізами. Парабола є конічним перерізом з одиничним ексцентриситетом. Якщо точкове джерело світла розміщене у фокусі параболоїдного дзеркала, то відбиті від поверхні промені будуть розповсюджуватися паралельно.

Графік функції, що задається за допомогою полінома другого степеня від однієї змінної, є параболою.

Історія[ред. | ред. код]

Параболічний компас винайдений Леонардо да Вінчі

Найранішою відомою роботою із конічних перетинів є роботаМенехма в четвертому столітті до н.е.. Він знайшов спосіб вирішити задачу подвоєння куба із використанням парабол. (Але це рішення, однак, не відповідало вимогам щодо побудови за допомогою циркуля і лінійки.) Площа, що обмежена параболою і лінійним відрізком, так званий "параболічний сегмент", була розрахована Архімедом за допомогою метода вичерпування в третьому столітті до н.е., і виклав це в своїй роботі «Квадратура параболи[en]». Назва "парабола" виникла завдяки Аполлонію, який дослідив багато властивостей конічних перетинів. Він означає "прикладання", що посилається на концепцію "прикладання або зіставлення площ", що має відношення і до цієї кривої, як довів Аполлоній.[1] Властивість фокуса і директриси параболи і інших конічних перетинів знайшов Папп Александрійський.

Галілео показав, що снаряд падає по параболічній траєкторії, що є наслідком постійного прискорення із-за дії сили тяжіння.

Ідея, що за допомогою параболічного рефлектора[en] можна утворити зображення була відома задовго до винайдення першого рефлекторного телескопа.[2] Дизайн був запропонований на початку і в середині сімнадцятого століття багатьма математиками, серед яких були Рене Декарт, Марен Мерсенн,[3] і Джеймс Грегорі.[4] Коли Ісаак Ньютон в 1668 побудував перший рефлекторний телескоп[en], він не став використовувати параболічне дзеркало із-за складності його виготовлення, і обрав оптимальним сферичне дзеркало. Параболічні дзеркала використовуються у більшості сучасних рефлекторних телескопах, а також у супутникових тарілках і радіолокаторах.[5]

Визначення параболи як геометричного місця точок[ред. | ред. код]

Параболу можна визначити геометрично як множину точок (геометричне місце точок) в Евклідовому просторі:

  • Парабола це множина точок, таких, що для будь-якої точкиt в множині відстань до фіксованої точки , фокусу, дорівнює відстані до фіксованої прямої , директриси:

Середня точка утворена перпендикуляром із фокусу до директриси називається вершиною а пряма віссю симетрії параболи.

Рівняння[ред. | ред. код]

Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:

(або , якщо поміняти місцями осі).

Квадратне рівняння при також являє собою параболу і графічно зображаєтся тією ж параболою, що і , але на відміну від останньої має вершину не в початку координат, а в деякій точці , координати якої обчислюються за формулами :

Рівняння може бути представлено у вигляді , а у випадку переносу початку координат в точку канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.

Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння[ред. | ред. код]

Якщо для рівняння відомі координати 3-х різних точок його графіка , , , то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:

Властивості[ред. | ред. код]

  • Парабола — крива другого порядку.
  • Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
  • Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що розміщене у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.
  • Для параболи фокус розміщений у точці (0,25; 0).
  • Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.
  • Парабола є антиподерою прямій.
  • Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.
  • При

1.Визначити напрям рогів параболи за знаком першого коефіцієнта: a>0 — роги направлені вверх. Якщо a<0, то роги параболи направлені вниз.

2.Обчислити координати вершини параболи x0= -b/2a і y0=y(x0)

3.Відмітити вершину параболи на координатній площині і через неї провести ось симетрії параболи x=x0

4.Знайти точку перетину параболи з віссю OY (0;с) і відмітити їй симетричну

5.Розв'язати квадратне рівняння ax2+bx+с=0 і відмітити точки на осі OX (x1;0) (x2;0)

6.Через відмічені п'ять точок провести параболу.

Параболу можна побудувати «по точках», не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директрисою. На директрисі задається довільна система відліку з потрібним одиничним відрізком. Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельна осі параболи.

Властивості дотичних[ред. | ред. код]

Перпендикулярні дотичні перетинаються на директрисі

Дві властивості пов'язані з фокальним параметром[ред. | ред. код]

Нехай лінія симетрії перетинає параболу в точці Q, точку фокуса позначимо як F а відстань від неї до точки Q позначимо як f. Нехай перпендикуляр до лінії симетрії, що проходить крізь фокус, перетинає параболу в точці T. Тоді (1) відстань від F до T дорівнює 2f, а (2) дотична до параболи в точці T перетинає лінію симетрії під кутом 45°.[6]:p.26

Ортоптична властивість[ред. | ред. код]

Якщо дві дотичні параболи перпендикулярні одна одній, тоді вони перетинаються в точці на директрисі. І навпаки, дві дотичні, що перетинаються на директрисі - перпендикулярні.

Теорема Ламберта[ред. | ред. код]

Нехай три дотичні до параболи утворюють трикутник. Тоді теорема Ламберта стверджує, що фокус параболи знаходиться на колі, що описує трикутник.[7][8]:Corollary 20

Парабола у декартовій системі координат[ред. | ред. код]

Вісь симетрії параболи паралельна осі y[ред. | ред. код]

Парабола: Визначення, p: половини фокусного параметру
Парабола: вісь паралельна осі y
Парабола: загальний випадок

Якщо обрати декартові координати таким чином, що і деректриса матиме рівняння отримаємо точку із що задає рівняння . Розв'язавши його для отримаємо

.

Парабола має U-подібну форму (відкриту до гори).

Довжина горизонтальної хорди, що проходить через точку фокусу (див. малюнок) називається фокусним параметром, половина якого є половиною фокусного параметру що позначається як . Із зображення отримаємо

.

Фокусний параметр визначається аналогічним чином для еліпса і гіперболи. Для параболи це відстань від фокусу до директриси. Використовуючи параметр , рівняння параболи можна записати наступним чином

.

У більш загальному випадку, якщо вершина дорівнює , фокус і директриса має рівняння отримаємо рівняння

.

Зауваження:

  1. У випадку коли парабола відкрита вниз.
  2. Припущення, що вісь симетрії паралельна осі y дозволяє розглядати параболу у вигляді графіку полінома із степенем 2 і навпаки: Графіком довільного полінома із степенем 2 є парабола.
  3. Якщо замінити місцями і , отримаємо рівняння парабол, в яких відкрита частина направлена ліворуч (якщо ) або праворуч (якщо ).

Загальний випадок[ред. | ред. код]

Якщо фокус дорівнює а директриса отримаємо наступне рівняння

(В лівій частині рівняння для розрахунку відстані використана Нормальна форма Гессе[en] для прямої.)

неявне рівняння параболи визначено незвідним багаточленом із степенем два

Парабола як графік функції[ред. | ред. код]

Графіки парабол

Будь-яку параболу із вершиною у початку координат і віссю , що є віссю симетрії параболи можна розглянути у вигляді графіку функції

.

Для направлено відкритою частиною в гору, а при відкрита вниз. Із попередніх розділів отримуємо:

  • Фокус це ,
  • фокусна відстань - , фокальний параметр дорівнює ,
  • вершина це ,
  • директриса має рівняння ,
  • дотична в точці має рівняння ,

Для парабола є одиничною параболою і задається рівнянням . Її фокусом є , фокальним параметр дорівнює і директриса має рівняння .

Загальний вигляд рівняння функції із степенем 2 буде наступним

.

Доповнюючи до повного квадрата[en] отримаємо

,

що є рівнянням параболі із

  • віссю (паралельною осі y),
  • фокусною відстанню , і фокальним параметром ,
  • вершиною ,
  • фокусом ,
  • директрисою ,
  • точкою, в якій парабола перетинає вісь y матиме координати ,
  • дотична в точці на осі y матиме рівняння .

Парабола як особливий випадок конічного перетину[ред. | ред. код]

Конічні перетини із спільною вершиною

Родину конічних перетинів в яких вісь x є віссю симетрії, одна вершина знаходиться в початку координат (0,0) і які мають однакове значення половини фокусного параметру можна задати наступним рівнянням

,

де задає Ексцентриситет.

  • При конічним перетином є коло,
  • При - еліпс,
  • При - парабола із рівнянням і
  • При буде отримана гіпербола (див. малюнок).

Парабола в полярних координатах[ред. | ред. код]

Родина конічних кривих із спільним фокусом

Якщо p > 0, парабола із рівнянням (із відритою частиною направленою праворуч) матиме полярні координати наступного вигляду:

(.)

Її вершина матиме координати а фокус буде заданий як .

Якщо в початок координат розмістити фокус, тобто, , отримаємо рівняння

Зауваження 1: Шляхом інвертування цієї полярної форми можна показати: що парабола це обернена до кардіоїди.

Зауваження 2: Друга форма полярних координат є особливим випадком із родини конічних перетинів із фокусом (див. зображення):

, (: ексцентриситет).

Властивість відбивання променів[ред. | ред. код]

Рефлективна властивість параболи

Рефлективна властивість параболи означає що, якщо парабола може відбивати промені світла, тоді те світло, що потрапляє на неї і проходить паралельно осі симетрії відбивається в її точку фокуса. Цей висновок можна отримати із хвильової природи світла. Він вірний, але таке обґрунтування може бути недостатнім, аби бути математичним доказом. В наведеному далі доказі, факт, що кожна точка параболи є рівновіддаленою від фокусу і директриси приймається як аксіома.

Розглянемо параболу y = x2. Оскільки всі параболи подібні, цей простий випадок відповідатиме усім іншим. Діаграма праворуч показує частину такої параболи.

Побудова і визначення[ред. | ред. код]

Точка E є довільною точку на параболі, із координатами (x, x2). Фокус позначено як F, а вершину параболи як A (знаходиться у початку координат), а пряма FA (вісь y) є віссю симетрії. Пряма EC паралельна осі симетрії, і перетинає вісь x в точці D. Точка C розміщена на директрисі (яка не показана, аби спростити діаграму). Точка B є серединою лінійного відрізку FC.

Дедукція[ред. | ред. код]

Якщо вимірювати здовж осі симетрії, вершина A є рівновіддаленою від фокусу F і від директриси. Відповідно до теореми Фалеса про пропорційні відрізки, оскільки C знаходиться на директрисі, y-координати точки F і C є рівними за абсолютним значенням але мають протилежний знак. B є середньою точкою відрізку FC, тому її y-координата дорівнює нулю, тому вона знаходиться на осі x. Її x-координата є половиною від значення координати точок E, D, і C, тобто, x2. Кутовий коефіцієнт прямого відрізку BE задається довжинами відрізків ED і BD, і становить x2x/2, що зводиться до значення 2x. Але 2x є також кутових коефіцієнтом (першою похідною) параболи в точці E. Тому, пряма BE є дотичною до параболи в точці E.

Відстані EF і EC є рівними, оскільки E є точкою параболи, F є точкою фокусу а C - директриси. Тому, оскільки B є середньою точкою відрізку FC, трикутники △FEB і △CEB є конгруентними (по трьом сторонам), наслідком чого є те, що кути відмічені літерою α є також конгруентними. (кут над E є вертикально протилежним кутом ∠BEC.) Це означає, що промінь світла, який потрапляє на параболу і проходить до точки E паралельно осі симетрії, буде відбиватися від прямої BE і в результаті буде слідувати по прямій EF, що показано червоним на малюнку (припускаючи що світло може відбиватися від прямих). Оскільки BE є дотичною до параболи в точці E, так само світло відбиватиметься від нескінченно малої ділянки дуги параболи в точці E. Таким чином, світло, яке потрапляє до параболи і проходить до точки E паралельно осі симетрії параболи відбивається параболою в точку фокусу.

Точка E не має особливих властивостей. Цей висновок щодо відбитого світла є вірним для усіх точок параболи, як показано в лівій частині зображення. Це є властивістю параболи.

Параболічні будови у природі, техніці та архітектурі[ред. | ред. код]

Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зірки або іншого масивного об'єкта на досить великий швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості і малої маси не захоплюються гравітаційним полем зірки і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).

При відсутності опору повітря траєкторія польоту тіла в наближенні однорідного гравітаційного поля є параболою.

При обертанні посудини з рідиною навколо вертикальної осі поверхню рідини в посудині і вертикальна площину перетинаються по параболі.

Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо …), в конструкції вузьконаправлених (супутникових та інших) антен, необхідних для передачі даних на великі відстані, сонячних електростанцій і в інших областях.

Форма параболи іноді використовується в архітектурі для будівництва дахів і куполів.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? - Deriving the Symptom of the Parabola - Mathematical Association of America. Процитовано 30 September 2016. 
  2. Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (вид. 2). Springer. с. 3. ISBN 3-540-40106-7.  Extract of page 3
  3. Stargazer, p. 115.
  4. Stargazer, pp. 123 and 132
  5. Fitzpatrick, Richard (July 14, 2007). Spherical Mirrors. Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Процитовано October 5, 2011. 
  6. Downs, J. W. (2003). Practical Conic Sections. Dover Publishing. Шаблон:ISBN missing
  7. Sondow, Jonathan (2013). The parbelos, a parabolic analog of the arbelos. American Mathematical Monthly 120: 929–935. arXiv:1210.2279. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. 
  8. Помилка цитування: Неправильний виклик <ref>: для виносок ET не вказаний текст