Парадокс роздачі подарунків

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Парадокс роздачі подарунків — один з найвідоміших парадоксів в теорії ймовірності. Вперше був розглянутий в книзі Ремона де Монмора, опублікованій в Парижі в 1708 р.

Формулювання парадоксу[ред. | ред. код]

Декілька чоловік вирішили зробити один одному подарунки таким чином: кожен з них приносить подарунок, подарунки складаються разом, змішуються і випадково розподіляються серед учасників. Парадоксально, але ймовірність того, що ніхто не отримає свій власний подарунок, менша (крім випадку, коли учасників двоє, і ця ймовірність дорівнює ).

Пояснення парадоксу[ред. | ред. код]

Розглянемо компанію з чоловік, тоді кількість подарунків теж рівна n. Подарунки можуть бути розподіленні n! різними способами(це спільне число випадків). Число випадків, при яких ніхто не отримає свій подарунок дорівнює тоді, відношення числа позитивних випадків до загального числа випадків обчислюється за формулою . Тоді справді менше при .

Обчислення показують, що якщо збирається щонайменше 6 чоловік, то з точністю до чотирьох знаків після крапки. Ймовірність конкретного співпадання дорівнює і прямує до при збільшенні .

Зауваження[ред. | ред. код]

Розглянемо дещо іншу проблему. Нехай подарунки розподіляються так, що кожен чоловік може отримати будь-який подарунок з однаковою ймовірністю незалежно від розподілу інших подарунків. Нехай подія полягає в тому, що конкретний чоловік не отримає подарунку. Тоді ймовірність дорівнює і прямує так само до . Розглянемо тепер випадок, коли кількість людей не обов'язково співпадає з кількістю подарунків . В цьому випадку шукана ймовірність дорівнює .

Якщо  прямує до , при , то ця ймовірність прямує до . Узагальнюючи цей результат, отримаємо: ймовірність того, що конкретна людина отримає рівно подарунків, прямує до при . Ми отримали добре відомий розподіл Пуассона. Повертаючись до “парадоксу розподілу подарунків”, отримаємо, що кількість людей, яким дістануться їх власні подарунки, також описується законом Пуассона з параметром .

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Секей Г. Парадоксы теории вероятностей и математической статистики / Г. Секей. — М.: Наука, 1989. — 240с.[1]
  2. www.unicyb.kiev.ua/Library/OKZ/Spetskurs.doc