Парадокс субмарини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Парадокс субмарини (іноді називають парадоксом Архімеда або парадоксом Сапплі) - уявний експеримент у рамках теорії відносності Ейнштейна, що приводить до парадоксу який важко розв'язати.

Відповідно до спеціальної теорії відносності Ейнштейна з точки зору нерухомого спостерігача розміри об'єкта, що рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла, зменшуються в напрямку руху. Однак з точки зору об'єкта, навпаки, саме нерухомі спостерігачі здаються коротшими.

Якщо припустити, що якась субмарина рухається під водою з швидкістю, близькою до швидкості світла, нерухомим спостерігачам вона здасться сплюснутою. Густина її, відповідно, повинна збільшитися, що неодмінно потягне її на дно. Але з боку об'єкта, що знаходиться на борту субмарини, екіпажу - все сприймалося б з точністю до навпаки: вода навколо них стискається, а значить стає більш щільною і виштовхує човен на поверхню.

Теорія відносності каже, що вірно перше припущення - підводний човен потоне. Вчені пояснюють парадокс по-різному. На шари і на човен діє маса факторів, які потребують обов'язкового врахування для успішного вирішення цього парадоксу. Тут і збільшення впливу гравітації на човен, який потягне його вниз, і спотворення форми шарів води вгору (вони «задираються» з точки зору субмарини через порушення одночасності початку прискорення).

У 1989 році Джеймс Сапплі вирішив цей парадокс з використанням спеціальної теорії відносності. На честь нього цю задачу називають також «Парадокс Сапплі».

У 2003 році бразилець Джордж Матсас з Сан-Паулу розглянув цей парадокс, використовуючи загальну теорію відносності. У обох учених висновок був однаковий: субмарина буде занурюватися.

Суть рішення[ред.ред. код]

Весь розгляд можна вести в рамках спеціальної теорії відносності, переходячи в рухому систему відліку, що рухається з прискоренням (у якій зручно ввести координати Ріндлера). Простіше, однак, розглянути все з інерціальної системи відліку, де прискорення рідини викликається будь-якою причиною, наприклад, рідина електрично заряджена і знаходиться в електричному полі, або її підпирає стінка, що рухається з прискоренням. Важливо, що ця причина не прискорює субмарину - наприклад, підводний човен нейтрально заряджений, або не контактує зі стінкою. Обмежимося початковим моментом часу, коли рідина в спокої, а швидкість субмарини дорівнює 0 для «нерухомого» випадку, і  v (з відповідним  \gamma = 1 /\sqrt {1-v^2 /c^2} ) для «рухомого».

З точки зору інерціальних спостерігачів прискорення підводного човна (не важливо, у спокої або в русі) викликається передачею імпульсу від молекул рідини до молекул підводного човна - це мікроскопічне визначення тиску. Ця передача пропорційна площі поверхні рідини, що контактує з субмариною, і відповідно зменшується в  \gamma раз при скороченні підводного човна через його рух. Тому передача імпульсу дорівнює  \frac{dp_0}{dt} для «нерухомої» субмарини, і  \frac{dp}{dt} = \frac {1} {\gamma}\frac{dp_0}{dt} для «рухомої». Тепер нескладно обчислити прискорення, які отримують субмарини в початковий момент: для «нерухомого» підводного човна це буде величина, що за умовою збігається з прискоренням рідини

 a_0 =\frac{1}{m}\frac{dp_0}{dt},

де  m - маса субмарини, а для «рухомого»

 a = \frac{1}{\gamma m}\frac{dp}{dt} =\frac{1}{\gamma^2m}\frac{dp_0}{dt}=\frac{a_0}{\gamma^2},

де враховано, що підводний човен прискорюється перпендикулярно напряму свого руху. Як видно, прискорення «рухомої» субмарини менше, ніж нерухомої - вона потоне.

Тепер розглянемо ситуацію в системі відліку, де підводний човен «нерухомий», але рухається рідина. Щільність рідини через її релятивістське скорочення зросте, що збільшить силу Архімеда в  \gamma раз, тобто передача імпульсу стане дорівнює  \frac{dp'}{dt'} = \gamma\frac{dp_0}{dt} , що викличе прискорення субмарини

 a_s'=\frac{1}{m}\frac{dp'}{dt'}=\gamma a_0.

Однак при переході в цю інерційну систему відліку прискорення рідини також зміниться. Виділивши в рідині деякий рівень, маємо у вихідній системі його рівняння руху  z=a_0t^2/2 , а в новій, згідно з перетворенням Лоренца для розташування підводного човна  x=vt\Rightarrow t=\gamma t', отримуємо  z'=z =a_0t^2/2 =a_0\gamma^2t'^2/2 =a't'^2/2, тобто прискорення рівня рідини, який вимірюється з субмарини, так само  a_l'= \gamma^2a_0. Воно більше прискорення підводного човна - він потоне.

Точно такий же результат виходить, якщо взяти правильне рівняння гіперболічного руху  z = c/a\sqrt {c ^ 2 a ^ 2t ^ 2}-c ^ 2 /a z_0 замість наближеного, вірного лише поблизу  t =0  z = a_0t^2/2 . Є ще певний ефект, пов'язаний з порушенням одночасності прискорення різних частин рідини відносно системи відліку субмарини, але він може бути зведений до величини, якою можна знехтувати, вибором малого прискорення та/або розміру субмарини в напрямку руху.

Посилання[ред.ред. код]

Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.