Паралелепіпед

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Паралелепіпед‎

Паралелепі́пед (від грец. παράλλος — паралельний і επιπεδον — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.[1][2]

Властивості[ред.ред. код]

  • Всі 6 граней паралелепіпеда є паралелограмами.[3]
  • Протилежні грані рівні та паралельні.[4]
  • Діагоналі перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.[4]

Типи паралелепіпедів[ред.ред. код]

Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:

  • Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.[1] У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами.[3] Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими.
  • Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою якому є прямокутник.[3] У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники.[4] Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами.[1] Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.[5] Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
  • Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами.[3] Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Основні формули[ред.ред. код]

Прямий паралелепіпед[ред.ред. код]

  1. Площа бічної поверхні:
    Sб = Ро · h, де Ро — периметр основи, h — висота.
  2. Площа повної поверхні:
    Sп = Sб + 2Sо, де Sо — площа основи.
  3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:
    V = Sо · h.

Прямокутний паралелепіпед[ред.ред. код]

  1. Площа бічної поверхні:
    Sб = 2c (a + b), де a, b — сторони основи, c — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.
  2. Площа повної поверхні:
    Sп = 2(ab + bc + ac).
  3. Об'єм:
    V = abc, де a, b, c — виміри прямокутного паралелепіпеда.
  4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі d дорівнює сумі квадратів його вимірів:[5]
    d2 = a2 + b2 + c2.

Куб[ред.ред. код]

  1. Площа повної поверхні:
    Sп = 6a2, де a — сторона.
  2. Об'єм:
    V = a3.
  3. Діагональ:
    d = a3.

Формули векторної алгебри[ред.ред. код]

Паралелепіпед, який задається трьома векторами a, b і c.

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) і \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:

 V = \left| \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \right|
           = \left| \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \right|
           = \left| \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \right|,

або

 V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \right|.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б в Бевз, 2002, с. 110
  2. Погорелов, 2009, с. 73—75
  3. а б в г Киселёв, 1980, с. 211
  4. а б в Крамор, 2008, с. 188
  5. а б Бевз, 2002, с. 112

Література[ред.ред. код]

  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія. Підручник для 10—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — Київ : «Вежа», 2002. — ISBN 966-7091-31-7.
  • Погорелов А. В. Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. — 9-е изд. — Москва : Просвещение, 2009. — 175 с. — ISBN 978-5-09-021850-4.(рос.)
  • Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — 4-е изд. — Москва : «Мир и Образование», 2008. — 336 с. — ISBN 978-5-94666-476-9.(рос.)
  • Киселёв А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. — Москва : Просвещение, 1980. — 287 с.(рос.)