Парні та непарні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.

Парні функції[ред. | ред. код]

Приклад парної функції: f(x) = x2

Функція називається парною, якщо для будь-якого з області визначення функції виконується рівність.[1][2][3]

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.[2]

Приклади парних функцій:

Алгоритм дослідження функції на парність:

  • Знайти для функції область визначення функції та встановити чи симетрична відносно нуля.
  • Якщо область визначення функції симетрична відносно нуля, тоді:
    • скласти вираз ;
    • порівняти та , якщо функція для будь-якого значення з області визначення функції , то функція  — парна.
Приклад

Дослідити на парність функцію

Розв'язання: , отже функція парна.

Якщо точка належить графіку парної функції , то точка також належить її графіку.[4]

Непарні функції[ред. | ред. код]

Приклад непарної функції: f(x) = x3.

Функція називається непарною, якщо для будь-якого з області визначення функції виконується рівність.[1][2][3]

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.[2]

Приклади непарних функцій

Алгоритм дослідження функції на непарність:

  • Скласти вираз , для цього у функції замінити аргумент на ;
  • Порівняти і , якщо , то функція — непарна.
Приклад

З'ясувати, чи функція  — парна, непарна або загального виду.

, тобто, функція непарна.

Якщо точка належить графіку непарної функції , то точка також належить її графіку.[4]

Основні властивості[ред. | ред. код]

  • Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією.[5]
  • Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією.[5]
  • Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією.[5]
  • Як для парної, так і для непарної функцій справедливо .[5]
  • Розклад в ряд Маклорена парної функції містить лише члени з парними степенями.[6]
  • Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями.[7]
  • Похідна парної функції-непарна, похідна непарної функції-парна.[6][7]

Декомпозиція функцій[ред. | ред. код]

Довільну функцію одного змінного, визначену в симетричній відносно початку координат області (разом із до області визначення належить і ), можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій:[2][5]

Тут перший доданок є парною, а другий — непарною функцією.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Х.: Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9. 
  2. а б в г д Гельфанд И.М.; Глаголева Е.Г.; Шноль Э.Э. (1968). Функции и графики (основные приёмы). Математика. Библиотека физико-математической школы (російською). М.: Наука. 
  3. а б Парні та непарні функції. miyklas.com.ua. Архів оригіналу за 10 листопада 2021. Процитовано 11 листопада 2021. 
  4. а б Мерзляк, А.Г.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2017). Алгебра 9 клас. Гімназія. 
  5. а б в г д Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — 320 с.(рос.)
  6. а б W., Weisstein, Eric. Even functions. Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021. 
  7. а б W., Weisstein, Eric. Odd function. Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021. 

Джерела[ред. | ред. код]

Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9.