Парні та непарні функції
Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.
Функція називається парною, якщо для будь-якого з області визначення функції виконується рівність.[1][2][3]
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.[2]
- Приклади парних функцій:
Алгоритм дослідження функції на парність:
- Знайти для функції область визначення функції та встановити чи симетрична відносно нуля.
- Якщо область визначення функції симетрична відносно нуля, тоді:
- скласти вираз ;
- порівняти та , якщо функція для будь-якого значення з області визначення функції , то функція — парна.
- Приклад
Дослідити на парність функцію
Розв'язання: , отже функція парна.
Якщо точка належить графіку парної функції , то точка також належить її графіку.[4]
Функція називається непарною, якщо для будь-якого з області визначення функції виконується рівність.[1][2][3]
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.[2]
- Приклади непарних функцій
Алгоритм дослідження функції на непарність:
- Скласти вираз , для цього у функції замінити аргумент на ;
- Порівняти і , якщо , то функція — непарна.
- Приклад
З'ясувати, чи функція — парна, непарна або загального виду.
, тобто, функція непарна.
Якщо точка належить графіку непарної функції , то точка також належить її графіку.[4]
- Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією.[5]
- Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією.[5]
- Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією.[5]
- Як для парної, так і для непарної функцій справедливо .[5]
- Розклад в ряд Маклорена парної функції містить лише члени з парними степенями.[6]
- Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями.[7]
- Похідна парної функції — непарна; похідна непарної функції — парна.[6][7]
Довільну функцію одного змінного, визначену в симетричній відносно початку координат області (разом із до області визначення належить і ), можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій:[2][5]
Тут перший доданок є парною, а другий — непарною функцією.
- ↑ а б Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Х.: Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9.
- ↑ а б в г д Гельфанд И.М.; Глаголева Е.Г.; Шноль Э.Э. (1968). Функции и графики (основные приёмы). Математика. Библиотека физико-математической школы (російською) . М.: Наука.
- ↑ а б Парні та непарні функції. miyklas.com.ua. Архів оригіналу за 10 листопада 2021. Процитовано 11 листопада 2021.
- ↑ а б Мерзляк, А.Г.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2017). Алгебра 9 клас. Гімназія.
- ↑ а б в г д Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — 320 с.(рос.)
- ↑ а б W., Weisstein, Eric. Even functions. Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021.
- ↑ а б W., Weisstein, Eric. Odd function. Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021.
- Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)