Невизначений інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Неви́значений інтегра́л для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.

Задача диференціального числення — знаходження похідної від заданої функції y = f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Фундаментальними поняттями інтегрального числення є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Застосування невизначених інтегралів[ред. | ред. код]

Невизначений інтеграл[ред. | ред. код]

Невизначеним інтегралом від функції f(x)=2x є сукупність її первісних x²+C, де C — довільна стала
Означення. Нехай функція F — первісна для f на J. Невизначеним інтегралом від функції f називається сукупність усіх первісних цієї функції, тобто вираз

де C ∈ R — довільна стала.

Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, C  — сталою інтегрування, x — змінною інтегрування.

З геометричної точки зору невизначений інтеграл — це сукупність (сім'я) ліній F(x) + C (див. Рис.).

Властивості невизначеного інтеграла[ред. | ред. код]

З означень первісної та невизначеного інтеграла випливають наступні властивості (за умов існування первісних та похідних на інтервалі J):


Методи обчислення невизначених інтегралів[ред. | ред. код]

Для обчислення невизначених інтегралів використовуються

За допомогою згаданих методів можна знаходити невизначені інтеграли у вигляді скінченних комбінацій елементарних функцій. Проте не всі інтеграли можна виразити через елементарні функції. Відомо небагато класів функцій, інтегрування яких в результаті дає елементарні функції. До цих класів відносяться раціональні, тригонометричні, показникові функції та функції з радикалами.

Якщо ж інтеграл не можна виразити скінченною комбінацією елементарних функцій, тоді його розглядають як нову функцію (яка є інтегралом Рімана зі змінною верхнею межею інтегрування) і обчислюють за допомогою рядів або нескінченних добутків елементарних функцій.[1]

Так, наприклад, інтеграли

існують, проте через елементарні функції не виражаються.

Див. також[ред. | ред. код]

Нотатки[ред. | ред. код]

  1. Детальніше див. Гл. 8 в Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.


Література[ред. | ред. код]

  • Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.
  • Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа в 2 т. / Под ред. Головиной Л. И. — Москва : Наука, 196. — 1968. — Т. 1.