Перемішування (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії динамічних систем, перемішування — властивість системи «забувати» інформацію про початкові умови з плином часу. Більш точно, розрізняють топологічне і метричне перемішування. Перше відноситься до теорії неперервних систем і, грубо кажучи, стверджує, що наскільки б точно не було відомо початкове положення точки, з плином часу можливе її місцезнаходження стає все більш і щільнішою множиною. Друге відноситься до теорії вимірних систем — систем, що зберігають деяку міру  — і стверджує, що розподіл абсолютно безперервної міри щодо (наприклад, обмеження на заданій підмножині початкових умов) при ітераціях прямує до самої міри .

Перемішування кольорового пластиліну у кульці, що піддається послідовним відображенням Підкови Смейла.

Визначення[ред.ред. код]

Топологічне перемішування[ред.ред. код]

За визначенням, (неперервна) динамічна система називається топологічно перемішуючою, якщо для будь яких двох непорожніх відкритих множин виконується

або, в інакшому вигляді,

Це означає що для будь-яких заданих і непорожньої відкритої множини всі ітерації з достатньо великим номером виявляються -щільні у фазовому просторі.

Топологічне перемішування є сильнішою властивістю, ніє транзитивність. Так, ірраціональний поворот кола транзитивний, але не перемішує.

Метричне перемішування[ред.ред. код]

За визначенням, вимірюване відображення , що зберігає міру називається метрично перемішуючим, якщо для будь яких двох вимірюваних множин виконується

У термінах інтегрованих функцій, це рівнозначне тому, що для будь яких двох функцій виконується

ергодичність міри є необхідною, але не достатньою умовою метричного перемішування. Так, ірраціональний поворот кола зберігає ергодичну для нього міру Лебега, але не є метрично перемішуючим.

Дивіться також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
  • Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
  • А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. з англ. А. Кононенко за участю С. Ферлегера — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.