Переріз Дедекінда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Dedekind cut- square root of two.png

Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу, запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел.

Визначення[ред.ред. код]

Переріз Дедекінда — це розбиття множини усіх раціональних чисел на дві непорожні підмножини A та B із властивостями, що A не має найбільшого елемента і будь-яке число з множини A менше від будь-кого числа з множини B. Множина A називається нижнім класом перерізу, а множина Bверхнім класом перерізу.

Будь-яке раціональне число x призводить до переріза Дедекінда, у якому

Оскільки множина B повністю визначена множиною A, а саме, B = Q\A, визначення переріза Дедекінда часто надається в термінах нижнього класу. Таким чином, переріз Дедекінда — це множина A раціональних чисел із властивостями:

  • A непорожня,
  • А не становить всю множину раціональних чисел,
  • А замкнута знизу, тобто якщо та то
  • А не має найбільшого елемента, тобто для будь-якого знайдеться

Перерізи Дедекінда утворюють множину R, на якій можуть бути визначені операції додавання та множення, а також поняття порядку. Таким чином множина R перетворюється на упорядковане поле дійсних чисел. Якщо у верхньому класі є найменше число, то такий переріз відповідає раціональному числу, у супротивному випадку — ірраціональному числу.

Приклади[ред.ред. код]

Дійсному числу відповідає наступний дедекіндовий переріз: та . Інтуїтивно можна представити, що для визначення , ми розділили множину раціональних чисел на дві частини: всі числа, що лівіше , та всі числа, що правіше ; тобто, є точною нижньою гранню множини

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]