Перетворення Мебіуса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Перетворення на комплексній площині (сірим) та сфері Рімана (чорним)

Перетворення Мебіуса — комплексна раціональна функція виду

f(z)=\frac{az+b}{cz+d},\quad a,\; b,\; c,\; d \in \C, \quad ad-bc \ne 0.

Частковий випадок дробово-лінійних функцій.

Властивості[ред.ред. код]

Звідки слідує, що дробово-лінійні відображення утворюють групу відносно операції суперпозиції (група автоморфізмів сфери Рімана, також відома під назвою група Мебіуса).

Ця група є комплексно-трьохвимірною групою Лі.

Алгебраїчні властивості[ред.ред. код]

...

Геометричні властивості[ред.ред. код]

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z),

де

  1. \ f_1(z)= z+d/c (зсув)
  2. \ f_2(z)= 1/z (інверсія та and відбиття відносно дійсної осі)
  3. \ f_3(z)= (- (ad-bc)/c^2) \cdot z (поворот та розтягнення)
  4. \ f_4(z)= z+a/c (зсув)
  • З цієї властивості слідує збереження кутів і кіл при дробово-лінійному відображенні, так як всі його складові є конформними. Маються на увазі кола на сфері Рімана, тобто до них крім звичайних кіл входять прямі.
  • Для довільних трьох точок \ z_1,\; z_2,\; z_3 існує єдине дробово-лінійне відображення, що переводить їх в задані три точки \ w_1,\; w_2, \; w_3.Вонобуде мати вигляд:
\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w)}{(w_1-w)(w_2-w_3)}.

Перетворення одиничного кола[ред.ред. код]

Перетворення Мебіуса є автоморфізмом одиничного кола \ \Delta=\{z:|z|<1\} тоді і тільки тоді, коли a{\bar b}=c{\bar d} та \frac{bc}{ad} належать напівінтервалу [0,\;1).

Для сфери Рімана, так і для одиничного кола дробово-лінійними функціями вичерпуються всі конформні автоморфізми. Автоморфізми одиничного кола утворюють дійсну-тривимірну підгрупу групи Мебіуса; кожний з яких виражається у вигляді:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1.

Приклади[ред.ред. код]

Важливим прикладом дробово-лінійної функції є перетворення Келі:

W(z)=\frac{z-i}{z+i}.

Воно відображає верхню напівплощину в одиничне коло.

Література[ред.ред. код]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М: Наука, 1969. — 577 с.