Перетворення Фур'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перетворення Фур'єінтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (таких як мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є функції математично визначається як комплексна функція , яка задається інтегралом[1]

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

Властивості[ред.ред. код]

Якщо задані інтегровні функції , та та їхні відповідні перетворення Фур'є , та, тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність
Для довільних комплексних чисел та , якщо , тоді  
Трансляція
Для довільного дійсного числа , якщо , тоді 
Модуляція
Для довільного дійсного числа , якщо , тоді  .
Масштабування
Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо h(x) = ƒ(ax), тоді  .     Випадок a = −1 призводить до властивості "обернення часу", згідно з якою: якщо h(x) = ƒ(−x), тоді  .
Спряження
Якщо , тоді 
Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце "умова дійсності"  
Згортка
Якщо , тоді 

Перетворення Фур'є узагальнених функцій[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. У якості основного простору вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):

Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через спряжений простір до . Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнениих функцій повільного зростання. Для довільної функції її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція , яка діє на основні функції за правилом

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, в даному випадку .

Перетворення Фур'є функцій багатьох змінних[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) :

де and --- -вимірні вектори, а позначає скалярний добуток цих векторів.

Використання[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектру неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і відповідно SETI@Home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу має вигляд

,

де — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і, яке, змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

Оскільки

,

де  — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

,

де

.

Важливим висновком з цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи .

Таблиця образів деяких функцій[ред.ред. код]

У наступній таблиці и позначають перетворення Фур'є функцій и , відповідно. Функцій і повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано

Функція Образ Примітки
1 Лінійність
2 Запізнення
3 Частотний зсув
4
5 Перетворення Фур'є похідної
6
7 Перетворення згортки
8 Зворотнє до 7
9 Перетворення дельта-функції Дірака
10 Зворотнє до 9
11 Для -ої узагальненої похідної дельта-функції
12 Наслідок з 3 і 10
13
14
15 Образ функції Гауса співпадає з оригіналом (функція належить до простору Шварца)
16 фільтр низьких частот
17 Тут  — функція знаку.
18
19
20 Тут  — функція Хевісайда.

Дивіться також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

^  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти використовують лінійну частоту , розподіляють множник порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

Джерела[ред.ред. код]

  • Bochner S.,Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

Посилання[ред.ред. код]

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.