Перетворення Хаусхолдера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення векторного простору , що описує його відображення щодо гіперплощини яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Широко застосовується в лінійній алгебрі для QR розкладу матриці.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором , що є ортогональним до неї; та скалярний добуток в , тоді

— оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

Властивості[ред.ред. код]

  • Матриця Хаусхолдера є ермітовою:
  • Матриця Хаусхолдера є унітарною:
  • Отже вона є інволюцією: .
  • Перетворення відображає точку в точку
  • Перетворення Хаусхолдера має одне власне значення рівне (-1) що відповідає власному вектору всі інші власні значення рівні (+1).
  • Визначник матриці Хаусхолдера рівний (-1).

Джерела[ред.ред. код]

  • Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947

Література[ред.ред. код]

  • Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Перевод с английского. — М.: Машиностроение, 1976. — 389 с.