Перетворення Хаусхолдера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Запит «Матриця Хаусхолдера» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення векторного простору , що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Застосовується в лінійній алгебрі для QR-розкладу матриці.

Визначення[ред. | ред. код]

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором , що є ортогональним до неї; та скалярний добуток в , тоді

— оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

Властивості[ред. | ред. код]

  • Матриця Хаусхолдера є ермітовою:
  • Матриця Хаусхолдера є унітарною:
  • Отже вона є інволюцією: .
  • Перетворення відображає точку в точку
  • Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору , усі інші власні значення дорівнюють (+1).
  • Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
  • Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані[джерело?].

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]