Перетин прямої і площини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Три можливих випадки перетину прямої і площини:
1. Нема перетину.
2. Перетин в точці.
3. Перетин є прямою.

В аналітичній геометрії, перетин прямої і площини може бути порожньою множиною, точкою, або прямою. Розрізнення цих випадків, і визначення рівнянь для точки і прямої має своє застосування комп'ютерній графіці, плануванні руху, і виявленні зіткнень.

Алгебраїчна форма[ред. | ред. код]

У векторному представленні[en], площину можна задати у вигляді набору точок для яких

де  — вектор нормалі, що перпендикулярний площині і є точкою на площині. (Це представлення означає скалярний добуток двох векторів і .)

Векторне рівняння прямої є наступним:

де це вектор, який вказує напрям прямої, точка на цій прямій, і це скаляр в дійсній області чисел. Підставляючи рівняння прямої в рівняння площини, отримуємо

Розкривши дужки, маємо:

І вирішуючи для

Якщо пряма і площина є паралельними. Матимемо два випадки: якщо пряма знаходиться на площині, що означає, що пряма перетинає площину в кожній точці прямої. В іншому випадку, пряма і площина не мають перетину.

Якщо існує єдина точка перетину. Значення можна розрахувати і точку перетину можна визначити наступним чином:

.

Параметрична форма[ред. | ред. код]

Перетин прямої і площини.

Пряма описується всіма точками на прямій і напрямом від конкретної точки. Таким чином будь-яка довільна точка на прямій може бути задана наступним чином

де and є вдома різними точками на прямій.

Таким же чином будь-яка довільна точка на площині може бути представлена як:

де , це три точки на площині, які не є колінеарними.

Точка, в якій пряма перетинає площину, таким чином описується рівнянням в якому точка на прямій дорівнює точці на площині, і задається наступним параметричним рівнянням:

Це можна записати як

що можна представити в матричній формі, як:

Точка перетину буде дорівнювати наступному:

Якщо лінія паралельна площині тоді вектори , , і будуть лінійно залежними і матриця буде виродженою. Ця ситуація також виникає, коли пряма знаходиться на площині.

Якщо рішення задовольняє умову , тоді точка перетину знаходиться на прямій між і .

Якщо рішення задовольняє

тоді точка перетину знаходиться на площині в межах трикутника, що заданий трьома точками , і .

Ця задача зазвичай вирішується у матричній формі, і за допомогою інверсії отриманої матриці:

Посилання[ред. | ред. код]