Квантиль

Квантиль — одна з числових характеристик випадкових величин, що застосовується в математичній статистиці. Квантилі відсікають в межах ряду певну частину його членів. Тобто, квантиль (термін використаний вперше Кендалом в 1940 р., хоча ідея висловлена в 1875 р. Френсісом Гальтоном) розподілення значень — це таке число x_p, що значення p-ї частини сукупності менше або рівне x_p. Наприклад, квантиль 0.25 (також називається 25-м процентилем або нижнім квартилем) змінної — це таке значення (x_p), що 25 % (p) значень змінної потрапляють нижче даного значення.

Визначення

Нехай маємо ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, і $\mathbb {P} ^{X}$ — ймовірнісна міра, що задає розподіл деякої випадкової величини $X$. Нехай зафіксовано $\alpha \in [0,1]$. Тоді $\alpha$-квантилем (або квантилем рівня $\alpha$) розподілу $\mathbb {P} ^{X}$ називається число $x_{\alpha }\in \mathbb {R}$, таке що

$\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x_{\alpha }])\equiv \mathbb {P} (X\leq x_{\alpha })=\alpha$.

Зауваження

• Якщо розподіл неперервний, то $\alpha$-квантиль однозначно задається рівнянням

$F_{X}(x_{\alpha })=\alpha$,

де $F_{X}$ — функція розподілу $\mathbb {P} ^{X}$ .

• Очевидно що для неперервних розподілів справедлива рівність

$\mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leq X\leq x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha$,

що широко використовується при побудові довірчих інтервалів

Види квантилів

Медіани і квартилі

Квартилі нормального розподілу

• $0.25$-квантиль називається першим (або нижнім) квартилем;
• $0.5$-квантиль називається медіаною, або другим квартилем;
• $0.75$-квантиль називається третім (або верхнім) квартилем.

Інтерквартильним або міжквартильним розмахом (англ. Interquartile range) називається різниця між третім і першим квартилем, тобто $x_{0.75}-x_{0.25}$. Інтерквартильний розмах є характеристикою розкиду розподілу величини. Разом медіана і інтерквартильний розмах можуть бути використані замість математичного сподівання і дисперсії у разі розподілів з великими викидами, або при неможливості обчислення останніх.

Дециль

Дециль характеризує розподіл величин сукупності, при якій дев'ять значень дециля ділять її на десять рівних частин. Будь-яка з цих десяти частин становить 1/10 всієї сукупності. Так, перший дециль відокремлює 10 % найменших величин, лежачих нижче дециля від 90 % найбільших величин, лежачих вище дециля.

Перцентиль

$p$-им перцентилем називають квантиль рівня $\alpha =p/100$. При цьому зазвичай розглядають перцентилі для цілих $p$, хоча дана вимога не обов'язкова. Відповідно, медіана є 50-м перцентилем, а перший і третій квартиль — 25-м і 75-м перцентилем. У цілому, поняття квантиль і перцентиль взаємозамінні, також, як і шкали числення імовірності — абсолютна і відсоткова. Перцентилі також називаються процентилями або центилями.^{[джерело?]}

Квантилі стандартного нормального розподілу

Імовірність, %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль	3,715	3,090	2,326	2,000	1,960	1,645	1,282	1,000	0,000

Див. також

• Квантилі розподілу Стьюдента
• Квантилі розподілу хі-квадрат
• Графік Q-Q
• Квартиль наукового журналу

Посилання

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Ресурс https://www.scopus.com/sources.uri [Архівовано 15 Травня 2021 у Wayback Machine.] дозволяє встановити квантиль журналів у Скопус.