Перша квадратична форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Перша квадратична форма або метричний тензор поверхні — квадратична форма від диференціалів координат на поверхні, яка визначає внутрішню геометрію поверхні в околі даної точки. Наявності першої квадратичної форми достатньо для обчислення довжин дуг, кутів між кривими, площі областей на поверхні.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай поверхня задана рівнянням

де і ― внутрішні координати на поверхні;

― Диференціал радіус-вектора уздовж обраного напрямку зміщення з точки в нескінченно близьку точку . Квадрат головною ліпшіцевої частини прирощення довжини виражається квадратом диференціала :

і називається першою основною квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти першої квадратичної форми зазвичай позначають через

або в тензорних символах

Тензор називається основним, або метричним, тензором поверхні.

Що можна обчислити за допомогою першої квадратичної форми?[ред. | ред. код]
  1. Довжина кривої на поверхні.
  2. Кут між кривими на поверхні.
  3. Площа поверхні.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Перша квадратична форма є позитивно визначеною формою в звичайних точках поверхні:

Обчислення довжини та площі[ред. | ред. код]

Перша квадратична форма повністю описує метричні властивості поверхні. Таким чином вона дозволяє обчислити довжини кривих на поверхні та площі областей на поверхні. Лінійний елемент ds може бути виражений в термінах коефіцієнтів першої квадратичної форми у вигляді

.

Класична площа елемента задається може бути виражена в термінах першої квадратичної форми за допомогою тотожності Лагранжа,

Приклад[ред. | ред. код]

Сфера одиничного радіуса в R3 може бути параметризована як

диференціюючи по змінним u та v отримуємо

Коефіцієнти першої квадратичної форми можна знайти за допомогою скалярного добутку часткових похідних

Довжина кривої на сфері[ред. | ред. код]

Екватор сфери є параметризована крива, задана з t в діапазоні від 0 до . Лінійний елемент може бути використаний, щоб обчислити довжину цієї кривої.

Площа області на сфері[ред. | ред. код]

Площа елемента може бути використана для обчислення площі області.


Література[ред. | ред. код]