Перша теорема Вейєрштрасса

Перша теорема Вейєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на замкненому проміжку.

Маршал Стоун значно узагальнив теорему у 1937 році та спростив доказ у 1948 році. Цей результат відомий тепер як теорема Стоуна-Вейєрштрасса.

Зміст

1 Формулювання теореми
2 Доведення
- 2.1 Зауваження
3 Див. також
4 Література

Формулювання теореми[ред. • ред. код]

Якщо функція $\!f(x)$ $\!f(x)$ неперервна на проміжку $\![a,b]$ $\![a,b]$ , то вона обмежена на цьому проміжку.

Доведення[ред. • ред. код]

Доведемо, що функція $\!f(x)$ $\!f(x)$ обмежена зверху на проміжку $\![a,b]$ $\![a,b]$ (обмеженість знизу доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що $\!f(x)$ $\!f(x)$ не є обмеженою на проміжку $\![a,b]$ $\![a,b]$ .

Тоді для будь-якого натурального числа $\!n$ $\!n$ $(\!n=1,2,...)$ $(\!n=1,2,...)$ знайдеться хоча б одна точка $\!x_{n}$ $\!x_{n}$ з проміжка $\![a,b]$ $\![a,b]$ така, що $\!f(x_{n})>n$ $\!f(x_{n})>n$ (інакше $\!f(x)$ $\!f(x)$ була б обмежена зверху на проміжку $\![a,b]$ $\![a,b]$ ).

Таким чином, існує послідовність значень $\!x_{n}$ $\!x_{n}$ з проміжка $\![a,b]$ $\![a,b]$ така, що відповідна їй послідовність значень функції $\!{f(x_{n})}$ $\!{f(x_{n})}$ є нескінченно великою. В силу теореми Больцано-Вейєрштрасса, з послідовності $\!{x_{n}}$ $\!{x_{n}}$ можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки $\!c$ $\!c$ , що належить $\![a,b]$ $\![a,b]$ . Позначимо цю послідовність симовлом $\!{x_{k}}$ $\!{x_{k}}$ , $\!(k_{n})$ $\!(k_{n})$ $(\!n=1,2,...)$ $(\!n=1,2,...)$ . В силу неперервності функції $\!f(x)$ $\!f(x)$ у точці $\!c$ $\!c$ відповідна підпослідовність значень функції $\!{f(x_{k})}$ $\!{f(x_{k})}$ повинна збігатися до $\!{f(c)}$ $\!{f(c)}$ . Але це неможливо, оскільки підпослідовність $\!{f(x_{k})}$ $\!{f(x_{k})}$ , яку виділено з послідовності $\!{f(x_{n})}$ $\!{f(x_{n})}$ , сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження[ред. • ред. код]

Для інтервалу (чи півпроміжка) твердження, аналогічне першій теоремі Вейєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію $\!f(x)=1/x$ $\!f(x)=1/x$ на інтервалі $\!(0,1)$ $\!(0,1)$ . Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок $\!x_{n}=\!1/n$ $\!x_{n}=\!1/n$ $(\!n=2,3,...)$ $(\!n=2,3,...)$ , які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції $\!{f(x_{n})}=\!{n}$ $\!{f(x_{n})}=\!{n}$ є нескінченно великою.