Перша теорема Вейєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перша теорема Вейєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на замкненому проміжку.

Маршал Стоун значно узагальнив теорему у 1937 році та спростив доказ у 1948 році. Цей результат відомий тепер як теорема Стоуна-Вейєрштрасса.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Якщо функція неперервна на проміжку , то вона обмежена на цьому проміжку.

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо, що функція обмежена зверху на проміжку (обмеженість знизу доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що не є обмеженою на проміжку .

Тоді для будь-якого натурального числа знайдеться хоча б одна точка з проміжка така, що (інакше була б обмежена зверху на проміжку ).

Таким чином, існує послідовність значень з проміжка така, що відповідна їй послідовність значень функції є нескінченно великою. В силу теореми Больцано-Вейєрштрасса, з послідовності можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки , що належить . Позначимо цю послідовність симовлом , . В силу неперервності функції у точці відповідна підпослідовність значень функції повинна збігатися до . Але це неможливо, оскільки підпослідовність , яку виділено з послідовності , сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження[ред.ред. код]

Для інтервалу (чи півпроміжка) твердження, аналогічне першій теоремі Вейєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію на інтервалі . Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок , які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції є нескінченно великою.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.