Перша теорема Вейєрштрасса
Перша теорема Вейєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на замкненому проміжку.
Маршал Стоун значно узагальнив теорему у 1937 році та спростив доказ у 1948 році. Цей результат відомий тепер як теорема Стоуна-Вейєрштрасса.
Формулювання теореми[ред. • ред. код]
Якщо функція неперервна на проміжку , то вона обмежена на цьому проміжку.
Доведення[ред. • ред. код]
Доведемо, що функція обмежена зверху на проміжку (обмеженість знизу доводиться аналогічно).
Припустимо супротивне, тобто припустимо, що не є обмеженою на проміжку .
Тоді для будь-якого натурального числа знайдеться хоча б одна точка з проміжка така, що (інакше була б обмежена зверху на проміжку ).
Таким чином, існує послідовність значень з проміжка така, що відповідна їй послідовність значень функції є нескінченно великою. В силу теореми Больцано-Вейєрштрасса, з послідовності можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки , що належить . Позначимо цю послідовність симовлом , . В силу неперервності функції у точці відповідна підпослідовність значень функції повинна збігатися до . Але це неможливо, оскільки підпослідовність , яку виділено з послідовності , сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.
Теорему доведено.
Зауваження[ред. • ред. код]
Для інтервалу (чи півпроміжка) твердження, аналогічне першій теоремі Вейєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.
Наприклад, розглянемо функцію на інтервалі . Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок , які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції є нескінченно великою.
Див. також[ред. • ред. код]
Література[ред. • ред. код]
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
![]() |
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. |
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |