Періодична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом .

Періоди́чна фу́нкціяфункція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Означення[ред.ред. код]

Нехай абелева група (зазвичай вважається, що  — дійсні числа з операцією додавання або  — комплексні числа). Функція називається періодичною з пері́одом , якщо виконується

.

Якщо ця рівність не виконується для всіх , то функція називається аперіоди́чною.

Якщо для функції існують два періоди , відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є , то називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на .

Примітка[ред.ред. код]

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо  — період, то і довільний елемент вигляду , де  — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодов є найменше значення, то воно називаєтся головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціями[ред.ред. код]

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

  • Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами і є функцією з основним періодом НСД.
  • Сума двох функций із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
  • Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

Приклади[ред.ред. код]

  • Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом , оскільки
  • Функція рівна константі є періодичною, і довільне дійсне число є її періодом. Головного періоду вона не має.
  • Функція є аперіодичною.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.