Площина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Площина́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладенні геометрії поняття площини як правило сприймається як первісне, котре лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше зустрічається в А.К.Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше зустрічається в Ламе (18161818), нормальне рівняння увів

Деякі характерні властивості площини[ред.ред. код]

  • Площина — поверхня, котра повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
  • Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Рівняння площини[ред.ред. код]

Площина — алгебраїчна поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.

  • Загальне (повне) рівняння площини

де та  — сталі, при чому і не всі рівні нулю; у векторній формі:

де  — радіус-вектор точки , вектор перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора :

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називаєтся неповним. При площина проходить через початок координат, при (або , ) площина паралельна осі (відповідно чи ). При (, чи ) площина паралельна площині (відповідно чи ).

  • Рівняння площини у відрізках:

де  — відрізки, які площина відсікає на осях і .

  • Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора :

у векторній формі:

  • Рівняння площини, що проходить через три задані точки , які не лежать на одній прямій:

(мішаний добуток векторів), іншими словами

  • Нормальне (нормоване) рівняння площини

у векторній формі:

де  — одиничний вектор,  — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

(знаки і протилежні).

Пов'язані поняття[ред.ред. код]

  • Відхилення точки від площини

,якщо і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку. Відстань від точки до площини дорівнює

  • Кут між площинами Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то

Якщо у векторній формі, то

чи
чи .
  • Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин

де і  — довільні числа, що не одночасно дорівнюють нулю.

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.