Плюрісубгармонічна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Плюрісубгармнонічна функціядійснозначна функція , від комплексних змінних в області комплексного простору , , яка задовольняє таким умовам:

  1. є напівнеперервною зверху усюди в ;
  2. є субгармонічною функцією змінної в кожній зв'язаній компоненті відкритої множини для будь-яких фіксованих точок , .

Функція називається плюрісупергармонічною функцією, якщо є плюрісубгармнонічною функцією.

Приклади[ред. | ред. код]

, при , де голоморфна функція в .

Властивості[ред. | ред. код]

  • Плюрісубгармонічні функції є субгармонічними, але обернене твердження є вірним лише при
  • Для того щоб напівнеперервна зверху в області D функція u була плюрісубгармонічною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких фіксованих, існувало число таке, що при виконується нерівність:
  • Для функцій що належать класу є плюрігармонічною в D тоді і тільки тоді, коли ермітова форма:
є невід'ємно означеною для всіх

Крім загальних властивостей субгармонічних функцій, для плюрісубгармонічних функцій справедливі наступні:

  • є плюрісубгармонічною функцією в області тоді і тільки тоді, коли — плюрісубгармонічна функція в околі кожної точки ;
  • Лінійна комбінація плюрісубгармонічних функцій з додатними коефіцієнтами є плюрісубгармонічною функцією;
  • Границі рівномірно збіжної і монотонно спадної послідовностей плюрісубгармонічних функцій є плюрісубгармонічними;
  • Для будь-якої точки середнє значення
по сфері радіуса , є зростаючою функцією по , опуклою щодо на відрізку , якщо куля повністю розміщена в ;
  • При голоморфних відображеннях плюрісубгармонічна функція переходить в плюрісубгармонічну;
  • Якщо — неперервна плюрісубгармонічна функція в області , замкнута зв'язана аналітична підмножина і звуження досягає максимуму на , то на ;
  • Функція є плюрісубгармонічною в області D, тоді і тільки тоді, коли вона є границею спадної послідовності функцій , де і для відповідних областей виконуються включення і також

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Gunning, Robert C. (1990). Introduction to Holomorphic of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory. Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13308-8. .
  • Herve, Michel (1971). Analytic and Plurisubharmonic Functions. Lecture Notes in Mathematics. Т. 198. Springer-Verlag. ISBN 0-387-05472-3. .
  • Krantz, Steven G. (1992). Function Theory of Several Complex Variables. Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second). Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. с. xvi+557. ISBN 0-534-17088-9. MR 1162310. Zbl 776.32001. .
  • Lelong, Pierre (1969). Plurisubharmonic functions and positive differential forms. Notes on mathematics and its applications. Gordon and Breach. .