Побудова за допомогою циркуля та лінійки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Використання циркуля і лінійки для побудови шестикутника
Побудова регулярного п'ятикутника

Побудова за допомогою циркуля та прямого краю, також відома як Побудова за допомогою циркуля та лінійки або класична побудова, це побудова довжин, кутів, та інших геометричних фігур з використанням лише ідеалізованної лінійки та циркуля.

Ідеалізована лінійка, відома як прямий край[en], що вважається нескінченною, не має міток і має лише один край. Вважаємо, що циркуль зникає при підйомі зі сторінки, тому не може бути безпосередньо використаний для передачі відстаней. (Це несуттєве обмеження, оскільки використовуючи процедуру з великою кількістю кроків, відстань може бути знайдена навіть за умови зникаючого циркулю; дивись теорему еквівалентності циркулів[en]. Формально кажучи, єдиними дозволеними конструкціями є такі, що надані трьома першими евклідовими постулатами. Кожна точка, що побудована з допомогою прямого краю та циркулю може бути накреслена лише циркулем.

Математики стародавньої Греції вперше зародили конструкції з допомогою прямого краю та циркулю, та ряд проблем у геометрії Евкліда накладають це обмеження. Стародавні греки розвинули багато побудов, хоча у деяких випадках не мали на це змоги. Гаус продемонстрував, що деякі многокутники можна побудувати, але не всі. Деякі з найвідоміших проблем прямої грані та циркулю були доведені у неможливості П'єром Ванцелем в 1837 році, використовуючи математичну теорію полів.

Незважаючи на існуючий докази неможливості[en], є люди, що завзято намагаються вирішити ці питання.[1] Більшість з цих питаннь легко вирішити за умови, що інші геометричні перетворення допускаються: наприклад, подвоєння куба можна зробити за допомогою геометричних побудов, але не представляється можливим, використовуючи лише прямий край і циркуль.

З точки зору алгебри, довжина може бути побудована тоді й лише тоді, коли вона передає число, що можна побудувати[en], та кут можна побудувати лише за умови того, що його косинус- це число, що можна побудувати. Число може бути побудоване тоді й лише тоді, коли може бути записано використовуючи чотири базові арифметичні операції та обчислення квадратного кореня, але не коренів більшої степені.

Циркуль та лінійка[ред.ред. код]

Циркуль

"Циркуль" та "лінійка" що використовуються у побудові це ідеалізації реальних лінійок та циркулів:

  • Циркуль може бути розгорнутим на довільну ширину, але (навідміну від деяких існуючих циркулів) на ньому нема розмітки. Кола можуть бути накреслені лише починаючи двома данними точками: центром та точкою на колі. Циркуль може (не обов'язково) зникати, коли він не малює коло.
  • Лінійка нескінченно довга, але не має відміток, бо у неї є лише прямий край, навідміну від звичайних лінійок. Вона може бути використана лише для кресллення відрізків між двома точками або для подовження існуючих відрізків.

Сучасні циркулі зазвичай не збиваються, і деякі сучасні поюудови використовують цю особливість. Здавалося б, що сучасний циркуль- це "більш потужний" інструмент аніж стародавні циркулі, що збиваються. Однак, за 2 Теоремою з 1 Книги Початків Евкліда, еффективність при використанні циркулю, що збивається не втрачається. Хоча теорема правдива, її докази мають довгу, та мінливу історію.[2]

Кожна побудова має бути точною.Її "огляд" (по суті огляд побудови та вгадування її точності, або використання деяких інструментів виміру, таких як поділки на лінійці) та наближення не враховується за розв'язок.

Кожна побудова має мати завершення. Тобто вона має мати скінченну кількість кроків, і не може бути межею подальших уточненнь.

Прямо кажучи, побудова за допомогою циркулю та лінійки це шра залу[en], а не справжня, практична проблема; але метою обмеження є гарантія того, що така побудова може бути доведена у цілковитій вірності, і тому важлива як розробка (проектування у программах САПР та традиційна побудова олівцем, циркулем та лінійкою на папері) так і наука мір і ваг, у яких точна передача з об'єктів або матеріалів дуже важлива.[Джерело?] Однією з головних цілей грецької математики було знаходження точної побудови для різних довжин; наприклад, сторона п'ятикутнику вписанного у коло. Греки не могли віднайти побудови для цих трьох випадків, серед інших:

Протягом 2000 років люди намагались віднайти побудову у межах даного набору інструментів, але їх потуги не приносили потрібного результату. Зараз усі три проблеми були доведені у неможливості вирішення взагалі по математичним правилам (кути з деякими градусними мірами можуть бути поділені на три рівних, але не всі можливі кути).

Історія[ред.ред. код]

Математики стародавньої Греції вперше використали побудову за допомогою лінійки та прямого краю, та вирахували як будувати суму, різницю, добуток, відношення та квадратний корінь даних довжин.[3]:p. 1 Також вони могли конструювати половину даного кута[en], квадрат чиєї площі у два рази більший за інший квадрат, квадрат, що має площу таку-ж як даний багатокутник, та правильний багатокутник із трьома, чотирма або п'ятьома сторонами[3]:p. xi (або такий, що має удвічи більше сторін ніж данний багатокутник[3]:pp. 49–50). Але вони не могли побудувати третину кута, за виключенням окремих випадків, або квадрат із такою-ж площею що і дане коло, або правильний багатокутник з іншою кількістю сторін.[3]:p. xi Не могли вони, також, побудувати грань куба, чий об'єм був у двічі більший за об'єм куба з даною гранню.[3]:p. 29

Гіппократ та Менехм показали, що поверхня куба може бути подво'єна шляхом знаходження перетинів гіпербол та парабол, але вони не можуть бути побудовані циркулем та лінійкою.[3]:p. 30 У п'ятому столітті до нашої ери, Гіппократ використовував криву що він називав квадратриса як для розділення на три загального кута та квадратури круга, а Нікомед[en] у другому столітті до нашої ери показав, як використовувати конхоїду для поділу довільного кута на три;[3]:p. 37 але ці методи також не можуть бути використані маючи лише циркуль та прямий край.

Не було ніякого прогрессу у вирішенні цих питаннь протягом двох тисячолітть, до 1796 року, коли Гаус показав, що правильний багатокутник з 17 сторонами може бути побудованним; через п'ять років він довів, що достатня умова для правильного багатокутника з n сторонами може бути побудована.[3]:pp. 51 ff.

У 1837 П'єр Ванцель опубліквав доказ неможливості поділу на три частини довільного кута або подво'єння об'єму куба, що був заснований на неможливості побудови кубічних коренів від довжин.[4] Ще він показав, що також обов'язково необхідна достатня умова можливості побудови Гауса для звичайних багатокутників.

Потім у 1882 році Ліндеманн показав, що \pi це трансцендентне число, а одже не можливо побудувати за допомогою лінійки та циркулю квадрат із такою-ж площею, що і дане коло.[3]:p. 47

Базові побудови[ред.ред. код]

Базові побудови

Усі побудови за допомогою лінійки та циркулю складаються з повторюваних додаваннь п'яти базових конструкцій, що використовують точки, лінії та кола, що вже були побудовані раніше. Такими є:

  • Створення лінії через дві існуючи точки
  • Створення кола через одну точку з центром у іншій точці
  • Створення точки, що є точкою перетину двох вже існуючих, не пралельних ліній.
  • Створення однієї чи двох точок на перетині кола із прямою лінією (якщо вони перетинаються)
  • Створення однієї чи двох точок на перетині двох кіл (якщо вони перетинаються).

Наприклад, починаючи лише двома окремими різними точками ми можемо утворити лінію або будь-яке з двох кіл (в свою чергу, використовуючи кожну точку як центр та проходження іншої точки колом). Якщо ми накреслимо обидва кола, дві нові точки будуть утворені на їх перетині. Креслення ліній між двома початковими точками та однією з цих нових точок завершує побудову рівностороннього трикутнику.

Таким чином, у будь-якій геометричній проблемі ми маємо початковий набір символів (точок та ліній), алгоритмів, та деякі вирішення. З цієї точки зору, геометрія єквівалентна до аксіоматичної алгебри, у якії єлементи заміняються на символи. Можливо Гаус уперше зрозумів це, та використав це для доказу неможливості деяких побудов; і лише через значний проміжок часу Гільберт винайшов набір геометричних аксіом.

Побудови за допомогою циркулю та лінійки що часто застосовуються[ред.ред. код]

Існують такі побудови за допомогою лініки та циркулю, що застосовуються найчастіше:

Точки і довжини що можна побдудувати[ред.ред. код]

Трисекція сегменту лінійкою та циркулем.

Формальний доказ[ред.ред. код]

Існують багато різних методів доказу неможливості чого-небудь. Якомога суворіший доказ може бути необхідним для визначення межі можливого, та щоб показати те, що для вирішення проблеми ми повинні переступити цю межу. Більша частина того, що можна побудувати зазначена у теорії про перетини.

Ми можемо асоціювати алгебру із нашею геометрією використовуючи Декартову систему координат, утворену двома лініями, та передають точки на нашій площині як вектори. Нарешті ми можемо записати ці вектори як комплексні числа.

Використовуючи рівняння для ліній та кіл, можна показати, що точки їх перетину лежать у квадратичному поширенні[en] найменшого поля F що містить дві точки на лінії, центр кола та радіус кола. Тобто вони утворюють x+y{\sqrt{k}}, де x, y, та k лежать у F.

Оскільки поле точок що можна побудувати закінчується до квадратних коренів, воно містить усі точки що можна отримати скінченною послідовністю квадратичних поширеннь поля комплексних точок іх раціональними коефіціентами. Згідно з попереднім абзацом, можна показати, що будь-яка точка може бути отримана такою послідовністю поширеннь. Як наслідок цього, можна заявити, що мінімальний поліном для точки, що доступна до побудови (і через це будь-яка довжина, яку можна побудувати), має потужність 2. Зокрема бідь-яка конструктивна точка (або довжина) це алгебраїчне число, однак не кожне алгебраїчне число є контруктивним (так зв'язок між конструктивною довжиною та алгебраїчним чилом не є бієктивним); наприклад, \sqrt[3]{2} алгебраїчне але не конструктивне.

Конструктивні кути[ред.ред. код]

Існує бієктивний зв'язок між кутом що може бути побудований та точками, що конструктивні на будь-якому конструктивному колі. Конструктивні кути утворюють Абелеву групу з модулем складання 2π (що відповідає множенню точок на одиничному колі, із розглядом їх як комплексних чисел). Кути, що конструктивні це саме ті кути чий тангенс (або так-само, синус чи косинус) є конструктивним як число. Наприклад, правильний сімнадцятикутник (Правильний многокутник з 17 сторонами) є конструктивним, бо

\cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }

як віднайшов Гаус.[5]

Група конструктивних кутів скінченна операцією, що ділить навпіл кути (що відповідає взяттю квадратного кореня з комплексних чисел). Єдиними кутами фінітного порядку що можуть бути побудованними починаючи з двох точок є ті, чий порядок є або степінню двійки, або добутком степені двійки та множини різних чисел Ферма. У додаток існує надзвічайна кількість конструктивних кутів фінітного порядку.

Побудова за допомогою циркулю та прямого краю як комплексна арифметика[ред.ред. код]

Дано множину точок у Евклідовому просторі[en], обрав одну з них за 0 та іншу за 1, разом з довільним вибором орієнтації дозволяє нам приймати ці точки як множину комплексних чисел.

Якщо брати будь-яку таку інтерпритацію множини точок у ролі комплексних чисел, точки, що конструктивні якщо використовувати побудову за допомогою прямого краю та циркулю одні є в точності елементами найменшого поля що містить початкову множину точок та маючи за межу операції над спряженими числами та квадратним коренем (щоб уникнути двозначності, ми можемо специфікувати квадратний корінь комплексним аргументом меншим за π). Елементи цього поля це в точності ті, що можуть бути виражені як формула у початкових точках, використовуючи лише операції додавання, віднімання, множення, ділення, знаходження спряженного числа, та квадратний корінь, для яких легко побачити, що вони є цілковитою підмножиною площини. Кожна з шести операцій відповідає простим побудовам за допомогою циркуля та лінійки. З такого твердження є очевидною побудова відповідної точки комбінуванням конструкцій кожної з арифметичних операцій. Більш еффективні побудови окремої множини точок відповідає скороченню у таких обчисленнях.

Так само (та без необхідності довільного вибору двох точок) ми можемо сказати, що з умови довільного вибору орієнтації, множина точок визначає множину комплексних коефіцієнтів відмінності між будь-якими двлма парами точок. Безліч коефіцієнтів конструктивна за використання циркуля та лінійки, з такого набор у коефіцієнтів найменше поле містить початкові коефіцієнти та замкнуті щодо знаходження спряженного числа та взяття квадратного кореня.

Наприклад, дійсна частина, уявна частина та модуль точки або коефіцієнта z (якщо брати одну з двох точок огляду зверху) конструктивні оскільки вони можуть бути предані як

\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2}\;
\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}\;
\left | z \right | = \sqrt{z \bar z}.\;

Подвоєння куба та трисекція кута (за виключенням особливих кутів, таких як будь-яких φ такий, що φ/2π це раціональне число з дробом) не ділимим на 3) потребує коефіцієнти що є вирішенням для кубічних рівняннь[en], у той час, коли квадратура круга потребує трансцедентного коефіцієнта. Жодна з цих операцій не описуються у полях, отже побудова за допомогою лінійки та циркуля для них не існує.

Неможливі побудови[ред.ред. код]

Стародавні греки вважали, що проблеми побудови,які ті не могли вирішити були просто впертими та важкими, але не такими, що їх не можливо вирішити.[6] З сучасними методами, однак, ці побудови за допомогою лініки та циркуля були доведені у логічній неможливості виконання. (Самі проблеми, однак, мають рішення, та греки знали як їх розв'язати, без обмеження у використанні лише лінійки та циркуля.)

Квадратура круга[ред.ред. код]

Докладніше: Квадратура круга

Найвідоміша з цих проблем, квадратура круга, відома також як переробка круга на квадрат, включає побудову квадрата з такою-ж площею, як і даний круг використовуючи лише лінійку та циркуль.

Квадратура круга була доведена у неможливості, так як включає в себе генерацію трансцедентного числа, тобто, {\sqrt{\pi}}. Тільки окремі алгебраїчні числа можуть бути побудовані лише лінійкою та циркулем, а саме ті, що побудовані з цілих чисел та скінченної послідовності операцій додавання, віднімання, множення, ділення, та взяття квадратного кореня. Через це фраза "робити з круга квадрат" часто використовується для позначення того, шоб "робити щось неможливе".

Без обмеження вимогою вирішення лише циркулем і лінійкою, проблема легко вирішується за допомогою найрізноманітніших геометричних і алгебраїчних засобів, і багато разів була вирішена в далекій давнині.[7]

Подвоєння куба[ред.ред. код]

Докладніше: Подвоєння куба

Подвоєння куба це побудова, за використання лише лінійки та циркуля, грані куба, об'єм якого удвічі більший за об'єм куба з данною гранню. Це не можливо, оскільки корінь кубічний від двох, хоча-б алгебраїчно, не може бути обчислений з цілих чисел за допомогою операцій додавання, віднімання, множення, ділення, та виділення квадратного кореня. З цього випливає, що його мінімальний многочлен з раціональних має степінь 3. Ця побудова можлива, якщо використовувати лінійку з двома відмітками на ній та на циркулі.

Трисекція кута[ред.ред. код]

Докладніше: Трисекція кута

Трисекція кута це побудова, з використанням тільки прямого краю та циркуля, кута, що є третиною данного довільного кута. Це не можливо у загальному випадку. Наприклад, хоча кут π/3 радіан (60°) не може бути розділений порівну на три, кут 2π/5 радіан (72° = 360°/5) може бути поділенний на три рівні частини. Головна проблемою трисекції може бути вирішена дуже легко, коли на лінійці є дві відмітки, що дають змогу викоористання (побудови Невсіса[en]).

Побудова правильних багатокутників[ред.ред. код]

Побудова квадрата.

Деякі правильні багатокутники такі як п'ятикутник легко будуються лінійкою та циркулем; інші- ні. Це наводить на питання: чи можливо побудувати усі правильні багатокутники лінійкою та циркулем?

У 1796 році Карл Фрідріх Гаус продемонстрував, що правильний 17 сторонній багатокутник може бути побулованним, та через 5 років показав, що праильний n- сторінний багатокутник може бути побудованний лінійкою та циркулем якщо непарний прайм-фактори[en] n це різноманітні числа Ферма. Гаус висловив припущення, що цей стан також необхідний, але не мав на це доказів, що були знайдені П'єром Ванцелем у 1837 році.[8]

Перші декілька конструктивних правильних многокутників мають таку кількість сторін:[9]

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15[en], 16[en],17, 20[en], 24[en], 30[en], 32[en], 34,40[en],48[en] , 51, 60[en],64[en] , 68, 80[en], 85, 96[en], 102, 120[en], 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272... Послідовність A003401 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел

Відомо, що існує безліч конструктивних правильних багатокутників з парною кількістю сторін (тому що якщо правильний n-кутник можна побудувати, то можна побудувати і правильний 2n-кутник, а отже і правильні 4-кутник, 8-кутник ,тощо). Однак, існує лише 31 відомий правильний n-кутник із парною кількістю сторін, що можна побудувати.

Побудова трикутника по трьох данним характерестичним точкам[ред.ред. код]

Шістнадцять ключових точок трикутнику є вершинами, середин його сторін[en], основою його висот, основою бісекторів внутрішнього кута[en], а також його центру описаного кола, барицентру, ортоцентра, та центру вписаного кола[en]. Вони можуть бути використані за потреби, для вирішення 139 різних нетривіальних проблем побудови трикутнику через три точки.[10] Серед цих проблем три потребують точку, що може бути однозначно побудована з інших двох; 23 можуть бути не однозначно побудовані (насправді для нескінченної кількісті розв'язків) але лише якщо розташування точок підлягає деяким обмеженням; у 74 ця проблема конструктивна для загального випадку; та у 39 потрібний трикутник існує, але його не можна побудувати.


Простий приклад[ред.ред. код]

Поділ відрізка навпіл

Задача. За допомогою циркуля та лінійки поділити даний відрізок AB на дві рівні частини. Один з розв'язків показано на малюнку:

  • Циркулем будуємо коло з центром в точці A радіусу AB.
  • Будуємо коло з центром в точці B радіусу AB.
  • Знаходимо точки перетину P та Q двох побудованих кіл.
  • Лінійкою проводимо відрізок, з'єднуючий точки P та Q.
  • Знаходимо точку перетину AB та PQ. Це — шукана середина відрізка AB.

Формальне визначення[ред.ред. код]

У завданнях на побудову розглядаються множина всіх точок площини, множина всіх прямих площині і множина всіх кіл площині, над якими допускаються наступні операції:

  1. Виділити точку з множини всіх точок:
    1. Довільну точку
    2. Довільну точку на заданій прямій
    3. Довільну точку на заданій окружності
    4. Точку перетину двох заданих прямих
    5. Точки перетину / торкання заданої прямої і заданої окружності
    6. Точки перетину / торкання двох заданих кіл
  2. «За допомогою лінійки » виділити пряму з множини всіх прямих:
    1. Довільну пряму
    2. Довільну пряму, що проходить через задану точку
    3. Пряму, що проходить через дві заданих точки
  3. «За допомогою циркуля » виділити окружність з множини всіх кіл:
    1. Довільну окружність
    2. Довільну коло з центром в заданій точці
    3. Довільну коло з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками
    4. Коло з центром в заданій точці і з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками

В умовах завдання задається деяка множина точок. Потрібно за допомогою кінцевого кількості операцій з числа перерахованих вище допустимих операцій побудувати інше множина точок, що знаходиться в заданому співвідношенні з вихідною множиною.

Рішення задачі на побудову містить в собі три суттєві частини:

  1. Опис способу побудови заданої множини.
  2. Доказ того, що множина, побудована описаним способом, дійсно знаходиться в заданому співвідношенні з вихідною множиною. Зазвичай доказ побудови проводиться як звичайний доказ теореми, що спирається на аксіоми та інші доведені теореми.
  3. Аналіз описаного способу побудови на предмет його застосовності до різних варіантів початкових умов, а також на предмет єдиності або неєдиним рішення, одержуваного описаним способом.

Правильні багатокутники[ред.ред. код]

Побудова правильного п'ятикутника

Античним геометрам були відомі методи побудови правильних n-кутників для n=2^k\,\!, 3\cdot 2^k, 5\cdot 2^k та 3\cdot5\cdot2^k.

Гаус у 1796 р. показав можливість побудови правильних n-кутників при n=2^k \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_m, де p_i\,\! —різні прості числа Ферма. У 1836 р. П. Ванцель довів, що інших правильних багатокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.

Відомі задачі[ред.ред. код]

Нерозв'язані задачі[ред.ред. код]

Ще в античності були поставлені такі три задачі на побудову:

  • Трисекція кута — розбити довільний кут на три рівні частини.
  • Подвоєння куба — побудувати відрізок, що є ребром куба вдвічі більшого об'єму, ніж куб з даним ребром.
  • Квадратура круга — побудувати квадрат, рівний за площею даному кругу.

Тільки у XIX столітті було доведено, що всі три задачі нерозв'язні циркулем та лінійкою. Питання можливості побудови повністю вирішене алгебраїчними методами, основаними на теорії Галуа.

  • Інша відома нерозв'язна за допомогою циркуля і лінійки завдання — побудова трикутника за трьома заданим довжинах биссектрис.[11]. Дистанційний консультаційний пункт з математики МЦНМО[ru]. Причому ця задача залишається нерозв'язною навіть за наявності трісектора.[12].

Можливі та неможливі побудови[ред.ред. код]

Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому зручно говорити про побудову числа — графічного розв'язку рівняння визначеного типу.

В рамках вищеокреслених вимог, можливі такі побудови:

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа рівні арифметичним виразам з використанням квадратного кореня з вихідних чисел (довжин відрізків). Наприклад,

  • Якщо задано тільки відрізок довжини 1, то \sqrt[3]{2} неможливо представити в такому вигляді (звідси неможливість подвоєння куба).
  • Можливість побудувати правильний 17-кутник випливає з виразу на косинус кута:
    \cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

  • Побудови за допомогою одного циркуля. За теоремою Мора — Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем та лінійкою. При цьому пряма вважається побудованою, якщо на ній задано дві точки.
  • Побудови за допомогою однієї лінійки. Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна реалізувати тільки проективно-інваріантні побудови. Зокрема, неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини або знайти центр намальованого кола. Але за наявності на площині заздалегідь проведеного кола з позначеним центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що і циркулем та лінійкою (теорема Понселе - Штейнера[en]),1833.
  • Побудови за допомогою плоского орігамі. Див. правила Худзити

Цікаві факти[ред.ред. код]

  • Візерунок на прапорі Ірану описується як побудова за допомогою циркуля та лінійки, (див. [1] перською мовою).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Underwood Dudley (1983). What To Do When the Trisector Comes. The Mathematical Intelligencer 5 (1): 20–25. doi:10.1007/bf03023502. 
  2. Godfried Toussaint, "A new look at Euclid’s second proposition," The Mathematical Intelligencer, Vol. 15, No. 3, (1993), pp. 12-24.
  3. а б в г д е ж и к Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).
  4. Wantzel, P M L (1837). Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas.. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 2. с. 366–372. Процитовано 3 March 2014. 
  5. Weisstein, Eric W. Trigonometry Angles--Pi/17(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. Stewart, Ian. Galois Theory. с. 75. 
  7. *Squaring the circle at MacTutor
  8. Kazarinoff, Nicholas D. (2003). Ruler and the Round. Mineola, N.Y.: Dover. с. 29–30. ISBN 0-486-42515-0. 
  9. Помилка цитування: Неправильний виклик <ref>: для виносок Eekhoff не вказаний текст
  10. Pascal Schreck, Pascal Mathis, Vesna Marinkoviċ, and Predrag Janičiċ. "Wernick's list: A final update", Forum Geometricorum 16, 2016, pp. 69–80. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201610.pdf
  11. Хто і коли довів неможливість побудови трикутника за трьома бісектрисах?
  12. bissect1.html Чи можна побудувати трикутник за трьома бісектрисах, якщо крім циркуля і лінійки дозволяється використовувати трісектор.
  13. Стандарт флага Ирана(перс.)

Література[ред.ред. код]

Зовнішні посилання[ред.ред. код]