Побудова за допомогою циркуля та лінійки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Використання циркуля і лінійки для побудови шестикутника

Побудова за допомогою циркуля та лінійки — розділ евклідової геометрії, відомий ще з античних часів.

В задачах на побудову можливі такі операції:

  • Позначити довільну точку на площині, точку на одній з побудованих ліній або точку перетину двох побудованих ліній.
  • За допомогою циркуля намалювати коло з центром в побудованій точці та радіусом, рівним відстані між двома вже побудованими точками.
  • За допомогою лінійки провести пряму, що проходить через дві побудовані точки.

При цьому циркуль та лінійка вважаються ідеальними інструментами, зокрема:

  • Лінійка не має поділок і має тільки одну сторону нескінченної довжини;
  • Циркуль може мати який завгодно великий радіус.

Простий приклад[ред.ред. код]

Поділ відрізка навпіл

Задача. За допомогою циркуля та лінійки поділити даний відрізок AB на дві рівні частини. Один з розв'язків показано на малюнку:

  • Циркулем будуємо коло з центром в точці A радіусу AB.
  • Будуємо коло з центром в точці B радіусу AB.
  • Знаходимо точки перетину P та Q двох побудованих кіл.
  • Лінійкою проводимо відрізок, з'єднуючий точки P та Q.
  • Знаходимо точку перетину AB та PQ. Це — шукана середина відрізка AB.

Формальне визначення[ред.ред. код]

У завданнях на побудову розглядаються множина всіх точок площини, множина всіх прямих площині і множина всіх кіл площині, над якими допускаються наступні операції:

  1. Виділити точку з множини всіх точок:
    1. Довільну точку
    2. Довільну точку на заданій прямій
    3. Довільну точку на заданій окружності
    4. Точку перетину двох заданих прямих
    5. Точки перетину / торкання заданої прямої і заданої окружності
    6. Точки перетину / торкання двох заданих кіл
  2. «За допомогою лінійки » виділити пряму з множини всіх прямих:
    1. Довільну пряму
    2. Довільну пряму, що проходить через задану точку
    3. Пряму, що проходить через дві заданих точки
  3. «За допомогою циркуля » виділити окружність з множини всіх кіл:
    1. Довільну окружність
    2. Довільну коло з центром в заданій точці
    3. Довільну коло з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками
    4. Коло з центром в заданій точці і з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками

В умовах завдання задається деяка множина точок. Потрібно за допомогою кінцевого кількості операцій з числа перерахованих вище допустимих операцій побудувати інше множина точок, що знаходиться в заданому співвідношенні з вихідною множиною.

Рішення задачі на побудову містить в собі три суттєві частини:

  1. Опис способу побудови заданої множини.
  2. Доказ того, що множина, побудована описаним способом, дійсно знаходиться в заданому співвідношенні з вихідною множиною. Зазвичай доказ побудови проводиться як звичайний доказ теореми, що спирається на аксіоми та інші доведені теореми.
  3. Аналіз описаного способу побудови на предмет його застосовності до різних варіантів початкових умов, а також на предмет єдиності або неєдиним рішення, одержуваного описаним способом.

Правильні багатокутники[ред.ред. код]

Побудова правильного п'ятикутника

Античним геометрам були відомі методи побудови правильних n-кутників для n=2^k\,\!, 3\cdot 2^k, 5\cdot 2^k та 3\cdot5\cdot2^k.

Гаус у 1796 р. показав можливість побудови правильних n-кутників при n=2^k \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_m, де p_i\,\! —різні прості числа Ферма. У 1836 р. П. Ванцель довів, що інших правильних багатокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.

Відомі задачі[ред.ред. код]

Нерозв'язані задачі[ред.ред. код]

Ще в античності були поставлені такі три задачі на побудову:

  • Трисекція кута — розбити довільний кут на три рівні частини.
  • Подвоєння куба — побудувати відрізок, що є ребром куба вдвічі більшого об'єму, ніж куб з даним ребром.
  • Квадратура круга — побудувати квадрат, рівний за площею даному кругу.

Тільки у XIX столітті було доведено, що всі три задачі нерозв'язні циркулем та лінійкою. Питання можливості побудови повністю вирішене алгебраїчними методами, основаними на теорії Галуа.

  • Інша відома нерозв'язна за допомогою циркуля і лінійки завдання — побудова трикутника за трьома заданим довжинах биссектрис.[1]. Дистанційний консультаційний пункт з математики МЦНМО[ru]. Причому ця задача залишається нерозв'язною навіть за наявності трісектора.[2].

Можливі та неможливі побудови[ред.ред. код]

Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому зручно говорити про побудову числа — графічного розв'язку рівняння визначеного типу.

В рамках вищеокреслених вимог, можливі такі побудови:

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа рівні арифметичним виразам з використанням квадратного кореня з вихідних чисел (довжин відрізків). Наприклад,

  • Якщо задано тільки відрізок довжини 1, то \sqrt[3]{2} неможливо представити в такому вигляді (звідси неможливість подвоєння куба).
  • Можливість побудувати правильний 17-кутник випливає з виразу на косинус кута:
    \cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

  • Побудови за допомогою одного циркуля. За теоремою Мора — Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем та лінійкою. При цьому пряма вважається побудованою, якщо на ній задано дві точки.
  • Побудови за допомогою однієї лінійки. Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна реалізувати тільки проективно-інваріантні побудови. Зокрема, неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини або знайти центр намальованого кола. Але за наявності на площині заздалегідь проведеного кола з позначеним центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що і циркулем та лінійкою (теорема Понселе - Штейнера[en]),1833.
  • Побудови за допомогою плоского орігамі. Див. правила Худзити

Цікаві факти[ред.ред. код]

  • Візерунок на прапорі Ірану описується як побудова за допомогою циркуля та лінійки, (див. [1] персидською мовою).

Див. також[ред.ред. код]

  • GeoGebra
  • Kig[ru]
  • KSEG[ru] — програми, дозволяючі виконувати побудови за допомогою циркуля та лінійки[3].

Примітки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]