Поверхня Безьє

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поверхні Безьє є різновидом математичного сплайна, використовуваного в комп'ютерній графіці, автоматизованому проектуванні і моделюванні методом скінченних елементів. Як і у випадку кривої Безьє, поверхня Безьє визначається набором контрольних точок. Подібно інтерполяції в багатьох речах, основна відмінність полягає в тому, що поверхня, взагалі кажучи, не проходить через центральні контрольні точки; скоріше, вона «розтягується» по відношенню до них, як якщо б кожна з них була центром тяжіння. Вони візуально вгадуванні, і для багатьох дій, математично зручні.

Історія[ред.ред. код]

Поверхні Безьє були вперше описані в 1962 році французьким інженером П'єром Безьє, який використовував їх для проектування автомобільних кузовів. Поверхні Безьє можуть бути будь-якого ступеня, але бікубічні поверхні Безьє зазвичай забезпечують достатню кількість ступенів свободи для більшості дій.

Рівняння поверхні[ред.ред. код]

Приклад поверхні Безьє

Поверхня Безьє порядку задається контрольними точками . Вона відображає одиничний квадрат гладкою безперервною поверхнею, вкладеною в простір тієї ж розмірності, що і {}. Наприклад, якщо P — це все точки в чотиривимірному просторі, то поверхня буде в чотиривимірному просторі. Двовимірна поверхня Без'є може бути визначена як параметрична поверхню, коли становище точки р як функції параметричних координат u, v визначається за формулою:[1]

де , а - многочлени Бернштейна:

Деякі властивості поверхонь Безьє:

  • Поверхня Безьє перетворюється таким же чином, як і її контрольні точки при всіх лінійних перетвореннях та зрушеннях.
  • Усі u = constant і  v = constant лінії в просторі (u, v), і, зокрема, всі чотири ребра деформованого одиничного квадрата (u, v) є кривими Безьє.
  • Поверхня Безьє буде повністю лежати всередині опуклої оболонки своїх контрольних точок, і, отже, також повністю в межах рамки своїх контрольних точок в будь-якій заданій декартовій системі координат.
  • Точки на латці, відповідній кутам деформованого одиничного квадрата, збігаються з чотирма контрольними точками.
  • Проте, поверхня Безьє, як правило, не проходить через інші її контрольні точки.

Поверхні Безьє в комп'ютерній графіці[ред.ред. код]

Модель «Gumbo» Едвіна Кетмелла складена з латок

Латкові сітки Безьє перевершують трикутні сітки як метод представлення гладких поверхонь, оскільки вони набагато компактніші, ними легше маніпулювати, і вони мають набагато кращі властивості безперервності. Крім того, інші загальні параметричні поверхні, такі як сфери і циліндри можна добре апроксимуватися відносно невеликим числом кубічних латок Безьє.

Латку Безьє порядку можна бути побудувати з двох трикутників Безьє порядку m+n, або з одного трикутника Безьє порядку m+n, з областю визначення у вигляді квадрата замість трикутника.

Трикутник Безьє степеня m може бути також побудований з поверхні Безьє (m, m) порядку, з такими контрольними точками, щоб один край був стиснутий в точку, або з областю визначення даних у вигляді трикутника, а не квадрата.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Farin, Gerald. Curves and Surfaces for CAGD (вид. 5th). Academic Press. ISBN 1-55860-737-4. 

Література[ред.ред. код]

  • Роджерс Д., Адамс Дж. Математичні основи машинної графіки.
  • BEZIER_SURFACE. Routines for Bezier Surface Information  (англ.) — Бібліотека функцій Matlab и Fortran, що дозволяє досліджувати властивості Без'є-поверхонь. Розповсюджується згідно з ліцензією LGPL.

Див. також[ред.ред. код]