Повний метричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Означення[ред.ред. код]

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною.

Критерій повноти метричного простору[ред.ред. код]

Для того, щоб метричний простір був повним необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка стяжна послідовність замкнених вкладених куль мала непорожній переріз.

Приклади повних метричних просторів[ред.ред. код]

  • Метричний простір (\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|. Коротке позначення цього простору: \mathbb{R}_1^n.
  • Метричний простір (\R^n,\rho), \; \rho(x,y)=\max_i |x_i-y_i|. Коротке позначення цього простору: \mathbb{R}_\infty^n.
  • Метричний простір (X,\rho), \; X=\{x=(x_1,x_2,...,x_n,...): \; \sum_{n=1}^\infty x_n<+\infty, x_n\in \R, n\in\N\}, \rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^\infty (x_i-y_i)^2}. Коротке позначення цього простору: \ l_2.
  • Метричний простір \ (C[a,b],\rho), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а \rho — чебишовська (рівномірна) метрика, тобто \rho(x(t),y(t)) = \max_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)|. Коротке позначення цього простору: C[a,b].

Приклад неповного метричного простору[ред.ред. код]

  • Метричний простір (C[a,b],d), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а \rho — метрика, означена рівністю: \rho(x(t),y(t))=\sqrt{\int_a^b (x(t)-y(t))^2 dt}. Коротке позначення цього простору: C_2[a,b].

Література[ред.ред. код]