Поворот Ґівенса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поворот Ґівенсалінійне перетворення \ G(i, k, \theta) векторного простору, що описує поворот в площині двох координатних осей.

Був запропонований в 1950 році американським математиком Воллесом Ґівенсом.

Визначення[ред.ред. код]

Матриця повороту Ґівенса має вигляд

 G(i, k, \theta) = \begin{bmatrix}
 1 &   &   &   &   &   &   \\
   & \ddots &   &   &   & 0 &   \\
   &   & c & \cdots & s &   &   \\
   &   & \vdots & \ddots & \vdots &   &  \\
   &   & -s & \cdots & c &   &   \\
   & 0 &   &   &   & \ddots &   \\
   &   &   &   &   &   & 1
\end{bmatrix}

де c = \cos(\theta), \;\; s = \sin(\theta) стоять на перехресті i-того та k-того стовпця і рядка. Тобто:

\begin{align}
 g_{i\, i} &{} = g_{k\, k} = c, \\
 g_{i\, k} &{}= -g_{k\, i} = s. \\
\end{align}

Властивості[ред.ред. код]

  • Матриця Ґівенса є частковим випадком матриці повороту.
  • Коли матриця Ґівенса G(i,k,θ), домножається зліва на матрицю A, то тільки i-тий та k-тий рядки матриці A змінюються.

Приклад[ред.ред. код]

Дано a та b, знайти c = cos θ та s = sin θ такі що

 \begin{bmatrix} c & s \\ -s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ 0 \end{bmatrix} .

Не будемо шукати θ, знайдемо тільки c, s, та r:

\begin{align}
 r &{}= \sqrt{a^2 + b^2} \\
 c &{}= a / r \\
 s &{}= b / r.
\end{align}

Застосування[ред.ред. код]

Застосовується для QR розкладу матриці наряду з такими методами як:

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]