Подвійне відношення порядку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Принцип подвійності в частково впорядкованій множині: якщо вірна яка-не будь теорема про частково впорядковану множину, сформульована в загально-логічних термінах і термінах порядку, то вірна і подвійна до неї теорема.

Для отримання теореми, подвійної до даної, всі вислови і поняття, що відносяться до порядку, замінюються на подвійні (тобто всі знаки порядку < замінюються на >, і навпаки), а загально-логічні терміни залишаються без змін.

Теорема (принцип подвійності).
Відношення, обернене до відношення часткового порядку, теж буде відношенням часткового порядку.
Доведення.
Нехай R-1 – відношення, обернене до відношення часткового порядку R. Покажемо, що R-1 є відношенням часткового порядку.

  1. рефлексивність: оскільки I⊆R, то I = I-1⊆ R-1
  2. транзитивність: якщо R◦R ⊆ R, то R-1◦R-1 = (R◦R)-1⊆ R-1.
  3. антисиметричність: якщо R∩R-1⊆ I (умова антисиметричності), то R-1∩R ⊆ I

Відношення часткового порядку R-1 називається подвійним до відношення часткового порядку R. Відношення -1позначається і a≤-1b означає a≥b. Якщо a≤b або b≤a, то a, b називаються елементами, що порівнюються відносно порядку .
Із справедливості деякого твердження для конкретної частково впорядкованої множини (або для конкретного класу частково впорядкованої множини ) ще не витікає справедливість подвійного твердження для цієї множини. Так, частково впорядкована множина може мати найменший елемент, але не мати найбільшого, вона може задовольняти умові мінімальності, але не задовольняти умові максимальності. Справедливість принципу подвійності витікає з того, що відношення, зворотне до часткового порядку, саме є частковим порядком. Інколи під принципом подвійності розуміють саме це твердження.

Приклади[ред.ред. код]

Є велика кількість прикладів для понять, які є подвійними:

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]