Подібність (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Подібність — перетворення евклідового простору, при якому для будь-яких двох точок , та їх образів , має місце співвідношення , де — додатне число, яке називають коефіцієнтом подібності.

Приклади[ред.ред. код]

  • Кожна гомотетія є подібністю.
  • Кожний рух (в тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом .
Подібні фігури мають однакові кольори.

Зв'язані визначення[ред.ред. код]

  • Фігура називається подібною до фігури , якщо існує перетворення подібності, при якому .

Властивості[ред.ред. код]

  • Подібність є взаємно однозначне перетворення евклідового простору на себе.
  • Подібність зберігає порядок точок на прямій, тобто якщо точка лежить між , і , , — відповідні їх образи при деякому перетворенні подібності, тоді також лежить між точками і .
  • Точки, що не лежать на прямій, переходять в точки, що не лежать на прямій.
  • Подібність перетворює пряму в пряму, відрізок у відрізок, промінь в промінь, кут в кут, коло в коло.
  • При подібності кут зберігає величину.
  • Подібність з коефіцієнтом , яка перетворює пряму в паралельну їй пряму, є гомотетією з коєфіцієнтом або .
    • Кожну подібність можна розглядати як композицію руху і деякої гомотетії з додатним коефіцієнтом.
    • Подібність називається власною (невласною), якщо рух є власним (невласним). Власна подібність зберігає орієнтацію фігур, а невласна - змінює орієнтацію на протилежну.
  • Два трикутники є подібними, якщо
  • Площі подібних фігур пропорційні квадратам їх схожих ліній (наприклад, сторін). Так, площі кіл пропорційні відношенню квадратів їх діаметрів (або радіусів).

Узагальнення[ред.ред. код]

Аналогічно визначається подібність (зі збереженням вказаних вище властивостей) в 3-вимірному евклідовому просторі, а також в n-вимірному евклідовому та псевдо-евклідовому просторі.