Подібність (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Подібність — перетворення евклідового простору, при якому для будь яких двох точок A, B та їх образів A', B' має місце співвідношення |A'B'|=k|AB|, де k — додатне число, яке називають коефіцієнтом подібності.

Приклади[ред.ред. код]

  • Кожна гомотетія є подібністю.
  • Кожний рух (в тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом k=1.
Подібні фігури мають однакові кольори.

Зв'язані визначення[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • Подібність є взаємно однозначне перетворення евклідового простору на себе.
  • Подібність зберігає порядок точок на прямій, тобто якщо точка B лежить між A, C і B', A', C' — відповідні їх образи при деякому перетворенні подібності, тоді B' також лежить між точками A' і C'.
  • Точки, що не лежать на прямій, переходять в точки, що не лежать на прямій.
  • Подібність перетворює пряму в пряму, відрізок у відрізок, промінь в промінь, кут в кут, коло в коло.
  • При подібності кут зберігає величину.
  • Подібність з коефіцієнтом k\not=1, яка перетворює пряму в паралельну їй пряму, є гомотетією з коєфіцієнтом k або -k.
    • Кожну подібність можна розглядати як композицію руху D і деякої гомотетії \Gamma з додатним коефіцієнтом.
    • Подібність називається власною (невласною), якщо рух D є власним (невласним). Власна подібність зберігає орієнтацію фігур, а невласна - змінює орієнтацію на протилежну.
  • Два трикутники є подібними, якщо
  • Площі подібних фігур пропорційні квадратам їх схожих ліній (наприклад, сторін). Так, площі кіл пропорційні відношенню квадратів їх діаметрів (або радіусів).

Узагальнення[ред.ред. код]

Аналогічно визначається подібність (зі збереженням вказаних вище властивостей) в 3-вимірному евклідовому просторі, а також в n-вимірному евклідовому та псевдо-евклідовому просторі.