Поле Якобі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Поле Якобівекторне поле вздовж геодезичної лінії в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями. Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.

Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.

Названі на честь німецького математика Карла Якобі.

Визначення[ред. | ред. код]

Рівняння Якобі[ред. | ред. код]

Нехай Mгладкий многовид розмірності n, афінна зв'язність на ньому, T і Rтензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію і позначимо її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):

У рівності вище використано позначення

В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:

Однопараметрична сім'я геодезичних ліній[ред. | ред. код]

Розглянемо тепер відображення класу з множини в многовид M, з такими властивостями:

  • Для довільного крива є геодезичною лінією;

таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t визначає криву для Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:

Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.

Приклад[ред. | ред. код]

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні і з природною параметризацією , розділені кутом . Геодезичне відстань рівна

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

для будь-якого .

Замість цього ми можемо розглянути похідні по при :

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при . Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати ; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

,

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Явний вигляд рівняння Якобі[ред. | ред. код]

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду Нехай ; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис в . Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис в будь-якій точці . Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з . Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом: , звідки:

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

для кожного . Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Властивості простору полів Якобі[ред. | ред. код]

Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх і є єдиними, якщо задані і для всіх і довільної точки .

Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.

Властивості для ріманових многовидів[ред. | ред. код]

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

  • Векторні поля і визначені уздовж є полями Якобі.
  • Векторне поле де — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді,коли функція лінійна.
  • Будь-яке поле Якобі можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми , де дійсні числа, а вектор є ортогональним до для всіх .
  • Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії є ортогональним до в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії.
  • Нехай — точки, що належать одній геодезичній лінії і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних існує єдине поле Якобі визначене на що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
  • Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії тоді:
де g — ріманова метрика.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Нехай і Визначимо підмножину таким чином: тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення є визначеним. Тоді відображення визначене як є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію з паралельним ортонормованим репером , , побудованим, як описано вище.

  • В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по .
  • Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією , і , де .
  • Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією , , і , де .
  • Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
  • Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в , індукованої метрикою на ).

Див. Також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)