Поляризаційна тотожність

Вектори у поляризаційній тотожності.

У лінійній алгебрі поляризаційна тотожність виражає скалярний добуток двох векторів через норму у нормованому векторному просторі. Поляризаційна тотожність зокрема описує коли норма породжується деяким скалярним добутком.

Поляризаційна тотожність тісно пов'язана із правилом паралелограма, адже для нормованого простору (V, $\|\cdot \|$), скалярний добуток на V для якого $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ існує якщо і тільки якщо виконується правило паралелограма. Тоді скалярний добуток однозначно виражається через норму саме за допомогою поляризаційних тотожностей:.

Формули

Будь-який скалярний добуток на векторному просторі породжує норму:

$\|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}.$

Поляризаційні тотожності навпаки виражають скалярний добуток через норму (у випадках коли норма породжена скалярним добутком).

Дійсні векторні простори

Якщо векторний простір є над полем дійсних чисел, тоді виконують рівності:

${\begin{aligned}\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right).\end{aligned}}$

Різні варіанти поляризаційних тотожностей є еквівалентними згідно правила паралелограма:

$2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}=\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}.$

Формули виводяться із властивостей скалярного добутку:

${\begin{aligned}\|u+v\|^{2}&=\langle u+v,u+v\rangle \\[3pt]&=\langle u,u\rangle +\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\langle v,v\rangle \\[3pt]&=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}+2\langle u,v\rangle ,\end{aligned}}$

і аналогічно

$\|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2\langle u,v\rangle .$

Виразивши скалярний добуток через норми у цих тотожностях можна одержати перші дві форми поляризаційної тотожності. Віднявши від першої рівності другу можна одержати третю форму.

Комплексні векторні простори

Дійсна частина скалярного добутку (незалежно від того чи він є у дійсних чи комплексних просторах і антилінійним по першій чи другій координаті) є симетричною білінійною формою, яку можна виразити поляризаційною тотожністю:

${\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\\end{alignedat}}$

Натомість уявна частина залежить від того чи добуток є антилінійним по першій чи другій координаті.

Якщо скалярний добуток $\langle x\mid y\rangle$ є антилінійним по першій координаті, тоді для всіх $x,y\in V:$

${\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy).\\\end{alignedat}}$.

Якщо скалярний добуток $\langle x,\ y\rangle$ є антилінійним по другій координаті, тоді для всіх $x,y\in V:$

${\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy).\\\end{alignedat}}$

Останню рівність також можна записати як::

$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.$

Знаходження скалярного добутку у нормованому просторі

Якщо у нормованому просторі (V, $\|\cdot \|$) виконується правило паралелограма

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$

тоді поляризаційні тотожності задають скалярний добуток для якого $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ для всіх $x\in V$.

Це означає, що, наприклад, для дійсних векторних просторів, якщо виконується правило паралелограма, то функція, значення якої для $x,y\in V$ є рівним ${\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$ є скалярним добутком.

Доведення

Доведення дано для дійсних нормованих просторів. Для комплексних доведення аналогічне.

Якщо норма задана скалярним добутком, то вона задовольняє поляризаційну тотожність

$\langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$ для всіх $x,y\in V.$

Нехай тепер маємо довільний дійсний нормований простір із нормою $\|\cdot \|$, що задовольняє правило паралелограма. Тоді введена вище функція $\langle x,\ y\rangle )$ є скалярним добутком, що породжує норму, тобто:

1. $\langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in V$
2. $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in V$
3. $\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad$ для всіх $x,y,z\in V,$
4. $\langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad$ для всіх $x,y\in V,$ і всіх $\alpha \in \mathbb {R}$

(властивості $\langle x,x\rangle \geqslant 0$ і $\langle x,x\rangle >0,\ x\neq 0$ тоді випливають із аналогічних властивостей норми).

Властивості (1) і (2) відразу випливають із підстановки: $\langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2}$ і властивості: $\|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}$.

Для доведення (3) необхідно довести:

$\|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}$

Еквівалентно:

$2(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2})-2(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}$

До доданків у лівій стороні можна застосувати правило паралелограма:

$2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}$

$2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}$

Тоді після підстановки і перетворень одержується:

${\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}$

$\|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}$

Але остання рівність одержується як різниця двох рівностей із правила паралелограма:

$\|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}$

$\|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}$

Це завершує доведення властивості (3).

Із властивості (3) випливає $\langle nx,y\rangle =n\langle x,y\rangle$ для $n\in \mathbb {N}$ і тоді елементарно для всіх $n\in \mathbb {Z} .$ Але із виконання (4) для $\alpha \in \mathbb {Z}$ випливає (4) для $\alpha \in \mathbb {Q}$. Але скалярний добуток, сума і норма є неперервними у нормованому просторі, тому одержана внаслідок поляризаційної тотожності функція $\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \$ є неперервною від дійснозначного аргумента $\alpha$. Тому оскільки ця функція є рівною 0 для раціональних чисел, вона має бути рівною 0 і для всіх дійсних чисел, що завершує доведення властивості (4).

Узагальнення

Симетричні білінійні форми

Якщо B є симетричною білінійною формою на векторному просторі, і Q є квадратичною формою заданою як

$Q(v)=B(v,v),$

то

${\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}$

Цю формулу можна застосувати навіть у випадку полів характеристика яких є рівною 2, хоча у цьому випадку ліва сторона в усіх формулах буде рівною 0. У цьому випадку не існує формули для симетричних білінійних форм через квадратичні форми і ці два поняття є нееквівалентними.

Формули також можна застосувати для білінійних форм на модулях над комутативними кільцями, хоча знову ж квадратичну форму можна виразити через симетричну лише якщо 2 є оборотним елементом у кільці, в іншому випадку поняття не є еквівалентними. Наприклад для цілих чисел існують квадратичні форми і симетричні форми.

Див. також

• Норма (математика)
• Нормований векторний простір
• Правило паралелограма
• Скалярний добуток