Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Квадратна матриця з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:
де
- — невід'ємноозначені матриці,
- — унітарна матриця.
Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними (що рівнозначно до ).
Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:
Оскільки:
матриці однозначно визначаються як:
Якщо матриця — нормальна, то за визначенням.
Використавши отримаємо
Використавши знову ж отримаємо
Якщо матриця — нормальна, тоді матриці — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:
де
- — унітарна матриця,
- — невід'ємноозначена діагональна матриця,
- — унітарна діагональна матриця.
Тоді
- — власний розклад матриці.