Полярний розклад матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

де

— невід'ємноозначені матриці,
— унітарна матриця.

Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними (що рівнозначно до ).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

Знаходження модуля[ред.ред. код]

Оскільки:

матриці однозначно визначаються як:

Якщо матриця нормальна, то за визначенням.

Знаходження повороту[ред.ред. код]

і використавши отримаємо

Використавши знову ж отримаємо

Полярний розклад нормальної матриці[ред.ред. код]

Якщо матриця — нормальна, тоді матриці — є переставними та нормальними, одже одночасно діагоналізуємими:

де

— унітарна матриці,
— невід'ємноозначена діагональна матриця,
— унітарна діагональна матриця.

Тоді

власний розклад матриці.

Джерела[ред.ред. код]