Полівектор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мультівектор, р-вектор, векторного простору  — елемент деякого зовнішнього ступеня простору над полем . p-вектор може розумітися як кососиметризований р раз контраваріантний тензор на .

2-вектор також називають бівектором, а 3-вектор - тривектором. p-вектор дуален до p-форми. Бівектори пов'язані з псевдовекторами та використовуються для представлення обертання.

Неоднозначність представлення бівектора векторами[ред.ред. код]

Розглянемо дві лінійні комбінації векторів і :

Користуючись спочатку лінійністю зовнішнього добутку щодо кожного із аргументів, а потім антисиметричністю, знаходимо:

Коефіцієнт в правій частині формули (8) є визначником матриці трансформації:

Якщо цей визначник дорівнює одиниці (наприклад матриця трансформації є поворотом в площині ), то бівектор виражається через нові вектори і так само, як і через старі (порівняйте з формулою (3)):

Паралельність вектора до бівектора[ред.ред. код]

Нехай ми маємо вектор і бівектор . Розглянемо тривектор, утворений зовнішнім добутком цих величин:

Якщо вектор буде лінійною комбінацією векторів і , то визначник у формулі (11) перетвориться в нуль, і для цього випадку маємо:

Алгебраїчна залежність компонент бівектора[ред.ред. код]

Оскільки вектори і лежать у площині бівектора , то для них справедлива формула (12), тому для будь-яких індексів знаходимо:

Отже бівектор виділяється із множини всіх антисиметричних тензорів тим, що компоненти бівектора алгебраїчно залежні:

(Примітка: формула (14) має деяку схожість з алгебраїчною тотожністю Біанкі для тензора Рімана, і це не випадково)

Ми бачили, що для бівектора виконується рівність (14). Покажемо що навпаки, якщо для деякого антисиметричного тензора виконується рівність (14) то цей тензор буде бівектором, тобто можна за цим тензором побудувати такі два вектори і , що виконується рівність (1).

Нехай тензор ненульовий, тобто не всі компоненти цього тензора дорівнюють нулю. Нехай для деяких фіксованих індексів маємо . Тоді із формули (14) одержуємо для всіх індексів :

В даній системі координат ми можемо наприклад взяти такі два вектора (числа фіксовані):

Очевидно, що тоді формула (1) виконується.

Підрахунок кількості параметрів бівектора[ред.ред. код]

Антисиметричний тензор другого рангу має алгебраїчно незалежних компонент.

Бівектор за формулою (1) виражається через чисел , але оскільки є деяка довільність у виборі векторів і (формула 8) і ми можемо в рівності

три параметри обрати довільно, то бівектор має алгебраїчно незалежних параметра.

Знайдемо «надлишкову» кількість параметрів, якою антисиметричний тензор відрізняється від бівектора:

З цієї формули ми бачимо, що для дво- і тривимірного простору надлишок дорівнює нулю (тобто кожен антисиметричний тензор є бівектором), для 4-вимірного простору цей надлишок задається одним параметром, для вищих розмірностей цих надлишкових параметрів досить багато.

Представлення антисиметричного тензора бівектором в розмірностях 2 і 3[ред.ред. код]

Якщо розмірність простору менша чотирьох, то у формулі (14) щонайменше два індекса з чотирьох збігаються. Перебором варіантів можна пересвідчитись, що тоді обовязково один із трьох доданків в (14) дорівнює нулю (бо ), а два інші рівні за величиною і протилежні за знаком. Тобто рівність (14) виконується завжди для будь-якого антисиметричного тензора. Формула (16) дає обчислення таких векторів і , що виконується рівність (1).

Норма (величина) бівектора[ред.ред. код]

Далі в цій статті ми будемо припускати існування евклідової метрики, щоб можна було говорити про величини векторів, бівекторів і про кути між ними. Використовуючи метричний тензор, ми можемо піднімати і опускати індекси тензорів. Розглянемо скаляр, який утворюється множенням бівектора на себе з наступною згорткою за відповідними індексами. У наступних формулах ми будемо користуватися правилом Ейнштейна, що у кожному виразі де зустрічаються однакові індекси, за ними відбувається додавання:

У дужках останнього виразу стоїть площа паралелограма, побудованого на векторах і . Ця плоша і називається нормою бівектора.

Бівектор як лінійний оператор[ред.ред. код]

Розглянемо згортку бівектора з довільним вектором :

В результаті цієї операції ми маємо вектор , що є лінійною комбінацією векторів і , тобто лежить в площині . Якщо вектор ортогональний до площини , то в результаті одержимо нуль. Якщо вектор лежить у площині , наприклад , то одержимо ненульовий вектор площини повернутий на , і розтягнутий в разів:

тобто дію бівектора на вектор можна розкласти на три етапи: проекцію вектора на площину, розтягнення, і поворот в площині на кут .

Література[ред.ред. код]