Поліноми Бернштейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна-Вейєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.

Визначення[ред.ред. код]

(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:

де  — біноміальний коефіцієнт.

Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору поліномів степеня n.

Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна

називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Бернштейна.

Приклади[ред.ред. код]

базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:

Властивості[ред.ред. код]

  • Розбиття одиниці:
,
  • Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:
,
  • Рекурентні відношення:
.
  • Симетрія:
  • Добуток поліномів:
  • Похідна:
де приймається для чи
  • Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:
  • Локальний максимум:
має локальний максимум на проміжку у точці . Дане значення рівне:

Вираження через поліноми Бернштейна[ред.ред. код]

Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:

Апроксимація неперервних функцій[ред.ред. код]

Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:

Тоді:

рівномірно на проміжку [0, 1].

Див. також[ред.ред. код]