Поліноми Кравчука

Поліноми Кравчука ( М. П. Кравчук, 1929) належать до класичних ортогональних поліномів дискретної змінної на рівномірній сітці, для яких співвідношення ортогональності являє собою не інтеграл, а ряд або скінченну суму: $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_{n}^{2},\delta _{m,n}$.

Тут $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{N-x}$ — вагова функція, $d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n}}}$ — квадратична норма, $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$. Для $p=q=1\left/2\right.$ вагова функція з точністю до постійного множника $1\left/2^{N}\right.$ зводиться до біноміального коефіцієнта.

Рекурентне співвідношення для цих поліномів має вигляд $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x)={\bigl [}x+n(p-q)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)$.

Шляхом нескладних перетворень його можна привести до вигляду

$f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n-1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}(x)}{d_{n}}}$,

де

$f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N}}},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN}}},\quad \varepsilon =r(p-q),\quad \Delta =-rpN.$

Поліноми Кравчука можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію Гауса:

$k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$

В границі при $N\to \infty$ поліноми Кравчука переходять у Поліноми Ерміта:

$\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)$

Перші чотири поліноми для найпростішого випадку $p=q=1/2$:

• ${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
• ${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
• ${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$
• ${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2}-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$

Породжуюча функція

Звичайна породжуюча функція

${\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{n-x}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}$

Джерела

• Sur une généralisation des polynomes d'Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622
• А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
• Krawtchouk Polynomials Home Page

Див. також

• Матриці Кравчука