Поліноми Лаґерра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поліноми Лаґерраортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.


Визначення[ред.ред. код]

Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння

що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:

Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:

і визначити наступні поліноми за допомогою формули:

Приклади[ред.ред. код]

Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:

n
0
1
2
3
4
5
6
Графіки поліномів Лаґерра.

Узагальнені поліноми Лаґерра[ред.ред. код]

Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:

Тоді звичайні поліноми Лаґерра є частковим випадком:

Узагальнений поліном Леґерра степеня також можна визначити за допомогою формули

Також виконуються рекурентні співвідношення:

Зокрема

і , або

Приклади[ред.ред. код]

Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:


Ортогональність[ред.ред. код]

Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з нормою xα e −x:

Для звичайний поліномів Лаґерра виконується рівність:


Література[ред.ред. код]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.