Ортогональні поліноми
|
|
Лежандра
|
Відкриті
|
Адрієн-Марі Лежандр
|
Формула
|
|
Диференціальне рівняння
|
|
Визначені на
|
|
Вага
|
1
|
Норма
|
|
Примітки
|
|
Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі
.
Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів
за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.
Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:
![{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad969113cbd9ce7c159d27350ece1e855f91c2a2)
або за рекурентними:

Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd51c7228067db4bea119843fb19c6caab834954)
Графіки поліномів Лежандра порядку
Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює

Перші 9 поліномів Лежандра:










Умова ортогональності справджується на інтервалі
:

де
— дельта-символ Кронекера.
Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:

яку можна також представити у вигляді:

При
функція
збігається з
.
Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.
Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c33d3baf02e4e4533377496199bbd6f7d318c0)
або еквівалентного йому:
![{\displaystyle ([1-x^{2}]\,y')'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2afb07a9145d2a76dbbbccda91b65d4958d130)
Поліноми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута
, який змінюється від −1 при
до 1 при
.
Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:
,
де
, а
— кут між векторами
та
.
Інше важливе застосування — розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули

де
— сферичні функції Бесселя.