Поліноми Лежандра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ортогональні поліноми
Лежандра
Відкриті Адрієн-Марі Лежандр
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага 1
Норма
Примітки

Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі .

Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.

Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:

або за рекурентними:

Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:

Графіки поліномів Лежандра порядку

Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює

Перші 9 поліномів Лежандра:

Ортогональність[ред.ред. код]

Умова ортогональності справджується на інтервалі :

де  — дельта-символ Кронекера.

Приєднані функції Лежандра[ред.ред. код]

Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:

яку можна також представити у вигляді:

При функція збігається з .

Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.

Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:

або еквівалентного йому:

Застосування[ред.ред. код]

Полімоми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута , який змінюється від −1 при до 1 при .

Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:

,

де , а  — кут між векторами та .

Інше важливе застосування — розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули

де  — сферичні функції Бесселя.

Див. також[ред.ред. код]