Поліноми Лежандра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ортогональні поліноми
Лежандра
Відкриті Адрієн-Марі Лежандр
Формула P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]
Диференціальне рівняння {d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0
Визначені на \ [-1,+1]
Вага 1
Норма {2 \over {2n + 1}}
Примітки

Поліноми Лежандраортогональні поліноми на інтервалі [-1,1].

Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів 1, x, x^2, x^3, \ldots за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.

Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]

або за рекурентними:

P_{n+1}(x) = {2n+1\over{n+1}}xP_n(x) - {n\over{n+1}}P_{n-1}(x).

Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.
Графіки поліномів Лежандра порядку n=0,1,...,5

Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює

\sum_{n=0}^{\infty}P_n(z)x^n = {1\over{\sqrt{1-2xz+x^2}}}.

Перші 9 поліномів Лежандра:

\ P_0(x) = 1
\ P_1(x) = x
P_2(x) = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2 - 1)
P_3(x) = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3 - 3x)
P_4(x) = \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4 - 30x^2 + 3)
P_5(x) = \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5 - 70x^3 + 15x)
P_6(x) = \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5)
P_7(x) = \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7 - 693x^5 + 315x^3 - 35x)
P_8(x) = \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8 - 12012x^6 + 6930x^4 - 1260x^2 + 35)
P_9(x) = \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9 - 25740x^7 + 18018x^5 - 4620x^3 + 315x)

Ортогональність[ред.ред. код]

Умова ортогональності справджується на інтервалі [-1,1]:

\int\limits_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx = {2\over{2n+1}}\delta_{mn}.

де \delta_{mn} — дельта-символ Кронекера.

Приєднані функції Лежандра[ред.ред. код]

Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:

P^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x),

яку можна також представити у вигляді:

P^m_n(\cos\theta)=\sin^m\theta\frac{d^m}{d(\cos\theta)^m} P_n(\cos\theta).

При m=0 функція P^m_n збігається з P_n.

Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.

Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:

(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(n[n+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,

або еквівалентного йому:

([1-x^2]\,y')' + \left(n[n+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,

Застосування[ред.ред. код]

Полімоми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута \theta , який змінюється від -1 при  \theta = \pi до 1 при  \theta = 0 .

Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:

 \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} = \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2rr_0 \cos\theta + r_0^2 }}  = \frac{1}{r_0} \frac{1}{\sqrt{1 - 2x \cos\theta + x^2 }} = \frac{1}{r_0} \sum_n P_n(\cos\theta) x^n,

де  x = r/r_0 , а  \cos \theta - кут між векторами  \mathbf{r} та  \mathbf{r}_0 .

Інше важливе застосування - розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули

 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} = \sum_{l=0}^\infty(2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos \theta)

де  j_l(x) - сферичні функції Бесселя.

Див. також[ред.ред. код]