Політоп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Деякі види двовимірних політопів: відкритий (межа не включена), тільки межа (внутрішність не включена), замкнений (містить і межу, і внутрішність) та з самоперетинами (різні ділянки мають різне заповнення).

В елементарній геометрії, політоп (англ. polytope ) — це геометричний об'єкт з «плоскими» сторонами. Поняття політопу узагальнюється на довільне число розмірностей, відповідно числу розмірностей кажуть про n-політоп. Наприклад, двовимірний багатокутник є 2-політопом, а тривимірний многогранник є 3-політопом. Під пласкими сторонами (k+1)-політопу розуміють сторони на одиницю меншої розмірності — k-політопи.

Деякі теорії узагальнюють ідею політопу та розглядають такі об'єкти як необмежені апеіротоп[en] і мозаїку, розбиття або замощення викривлених многовидів, включаючи, наприклад, сферичні многогранники[en], та теоретико-множинні абстрактні політопи[en].

Підходи до визначення[ред. | ред. код]

Термін політоп — це в даний час широкий термін, який охоплює широкий клас об'єктів, а також різні визначення, підтверджені в математичній літературі. Багато з цих визначень не еквівалентні, що призводить до різних наборів об'єктів, що знаходяться під назвою політопів. Вони являють собою різні підходи до узагальнення опуклих політопів, щоб включити інші об'єкти з аналогічними властивостями.

Оригінальний підхід за Людвігом Шлефлі, Торольдом Госсе та інших починається з розширенням за аналогією на чотири або більше виміри, ідеї багатокутника і багатогранника відповідно в двох і трьох вимірах.

Спроби узагальнити ейлерову характеристику багатогранників до багатовимірних багатогранників привело до розробки топології і трактування розкладання або CW-комплексу як аналога до багатогранника. При такому підході багатогранник можна розглядати як теселяцію або розкладання деякого заданого різноманіття. Прикладом такого підходу багатогранник визначається як безліч точок, які допускає симпліціальне розкладання. У цьому визначенні багатогранник є об'єднанням скінченного числа симплексів, з додатковою властивістю, що для будь-яких двох симплексів, які мають непорожній перетин, їхній перетин є вершиною, ребром або гранню вищої міри ніж два.[1] Однак це визначення не дозволяє існуванню зіркових багатогранників з внутрішніми структурами, і тому є обмеженим певними областями математики.

Відкриття зіркових багатогранників та інших незвичайних конструкцій призвело до ідеї багатогранника як обмежувальної поверхні, ігноруючи її внутрішню частину. У цьому світлі опуклі багатогранники в р-просторі еквівалентні замощенню ( р -1)-сфери, в той час як інші можуть бути замощенні іншою еліптичної, плоскою аботороідальною ( р -1)-поверхнею. Політоп розуміється як поверхня, чиї грані є багатокутники, а 4-політоп як гіперповерхня, чиї межі (грані) є багатогранники, і так далі.

Ідея побудови більш високих багатогранників від меншої розмірності також іноді поширюється вниз за розміром, з краєм, який розглядається як 1-політоп, обмежений парою точок, а точка або вершина як 0-політоп. Такий підхід використовується, наприклад, в теорії абстрактних політопів.

У деяких областях математики, терміни «політоп» і «багатогранник» використовуються в іншому сенсі: багатогранник є загальним об'єктом в будь-якому вимірі і політоп означає — обмежений багатогранник.[2] Ця термінологія, як правило, обмежується на політопи і багатогранникі, які є опуклими. За допомогою цієї термінології, опуклий багатогранник є перетином кінцевого числа напівпросторів і визначається його сторонами, в той час як опуклий політоп є опуклою оболонкою кінцевого числа точок і визначається його вершинами.

Елементи[ред. | ред. код]

Політоп містить елементи різної розмірності, такі як вершини, ребра, грані, клітини і так далі. Термінологія для них не в повній мірі відповідає одна одній за різними авторами. Наприклад, деякі автори використовують грань для позначення (n — 1)- мірного елементу, в той час як інші використовують грань для позначення конкретно 2-мірної грані. Автори можуть використовувати J -грань для того, щов вказати елемент J розміру. Деякі з них використовують край, щоб звернутися до гребеня, в той час як Коксетер використовує клітину для позначення ( n  - 1)-мірного елементу.

Терміни, прийняті в цій статті наведені в таблиці нижче:

Розмір 

елемента

Термін 

(n-політоп)

-1 Нульовий політоп (необхідний в абстрактній теорії)
0 вершина
1 край
2 грань
3 клітина
…. ….
J J -гранний — елемент рангу J = -1, 0, 1, 2, 3, …, N
п — 2 Рідж або губгрань — ( n — 2) -граний
п — 1 Фасет — ( n — 1) -гранний
N Тіло — n -граннє

n — мірний багатогранник обмежений числом (n — 1) -мірних фасетів. Ці фасети є самі політопами, чиї фасетки (n — 2) -мірних гребені оригінального політопа. Кожен гребінь виникає як перетин двох граней (але перетин двох граней не обов'язково повинен бути гребінем). Гребені це політопи, чиї фасети призводять до (n — 3)-мірних меж оригінального політопу, і так далі. Ці обмежуючи суб-політопи можуть бути віднесені до граней, або конкретніше J -мірних граней. 0-мірна грань називається вершиною, і складається з однієї точки. А 1-мірна грань називається краем, і складається з відрізка. 2-мірна грань складається з полігону, а 3-мірна грань, яку іноді називають клітиною, складається з багатогранника.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Кожен політоп допускає тріангуляцію; тобто, може бути представлений як об'єднання скінченної множини симплексів таких що
  • для будь-якого з симплексів з в входять всі його грані;
  • будь-які два симплексb або взагалі не мають спільної точки, або перетинаються тільки по цілій грані певної розмірности.
  • Перетин і об'єднання скінченного числа політопів політоп.

Варіації і узагальнення[ред. | ред. код]

Топологічний політоп — топологічний простір, гомеоморфними деякому політопу.

Застосування[ред. | ред. код]

При вивченні оптимізаціїлінійне програмування вивчає максимуми і мінімуми лінійних функцій звужених до меж n-вимірного політопа.

У лінійному програмуванні, політопи виникають при використанні узагальнених барицентричних координат.

У твісторній теорії, галузі теоретичної фізики, політоп, який називається амплітуедр, використовується для розрахунку амплітуди розсіювання субатомних частинок при їх зіткненні. Конструкція носить чисто теоретичний характер, без відомої фізичної прояви, але введені для того, щоб значно спростити деякі розрахунки.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Grünbaum (2003)
  2. Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization," 1999, ISBN 978-0471359432, Definition 2.2.

Джерела[ред. | ред. код]