Порожня множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Символ порожньої множини

Порожня множина в математиці — множина, яка не містить жодного елемента. Така множина позначається як Ø або {}.

Наприклад, якщо досліджується множина об'єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з'ясовується, що таких об'єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означити за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: Ø = {x|x≠x} тощо. Разом із тим, твердження множина M — непорожня можна замінити рівносильним йому твердженням існують елементи, які належать множині M

Властивості[ред.ред. код]

Порожня множина не містить жодного елементу
  • Для будь-якої множини A, порожня множина є підмножиною A:
    • ∀A: {} ⊆ A
  • Для будь-якої множини A, об'єднання множин A та порожньої множини є A:
    • ∀A: A ∪ {} = A
  • Для будь-якої множини A, перетин множин A та порожньої множини є порожня множина:
    • ∀A: A ∩ {} = {}
  • Для будь-якої множини A, Декартів добуток A та порожньої множини є порожня множина:
    • ∀A: A × {} = {}
  • Єдиною підмножиною порожньої множини є сама порожня множина :
    • ∀A: A ⊆ {} ⇒ A = {}
  • Потужність порожньої множини є нуль:
    • |{}| = 0

В алгебрі множин порожня множина є нейтральним елементом відносно операції об'єднання множин ∪.

Див. також[ред.ред. код]