Порядкове число
Зовнішній вигляд
Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.
Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:
- Множина називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності .
- — ординал. Його також позначають як 0.
- Якщо — ординал, то кожен елемент — ординал.
- Якщо — ординал, то — ординал. Його позначають як .
- Не для кожного ординала існує ординал такий, що . Ординали, які не можна представити як суму іншого ординала й одиниці, називають граничними[en], решту — неграничними. (Утім, зазвичай також вважають неграничним, хоча є різні тлумачення.)
- Скінченні ординали (як і скінченні кардинали) збігаються з натуральними числами (тут під множиною натуральних чисел мається на увазі ℕ0 = {0, 1, 2, …}, тобто включаючи нуль).
- Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал та найменший нескінченний кардинал .
- Існує тільки один зліченний кардинал , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …}
- Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом , якому відповідає кардинал .
- Довільна множина ординалів цілком упорядкована відношенням , при цьому — найменший елемент довільної множини ординалів, — ординал, не менший за довільний ординал .
- Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.
- Додавання не комутативне, зокрема: не дорівнює , тому, що .
- Додавання асоціативне: .
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ , 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)
- Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.
Це незавершена стаття з теорії множин. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |