Порядкове число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Визначення[ред.ред. код]

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина, що задовільняє аксіому регулярності, називається ординалом, якщо вона і кожен її елемент транзитивні: \mathrm{Ord}(x)\iff \mathrm{Trans}(x)\wedge\forall t(t\in x\to\mathrm{Trans}(t)).

Аксіома регулярності є суттєвою для цього визначення, що необхіно враховувати в аксіоматичних теоріях відмінних від ZFC.

Властивості[ред.ред. код]

  • \varnothing — ординал.
  • Якщо ~\alpha — ординал, то кожен елемент ~\alpha — ординал.
  • Якщо ~\alpha — ординал, то \alpha\cup\{\alpha\} — ординал (терм \alpha\cup\{\alpha\} позначають через \alpha+1). Ординали, що збігаються з \alpha+1 для деякого \alpha, називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
  • Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
  • Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал ~\omega та найменший нескінченний кардинал \aleph_0.
  • Існує тільки один зліченний кардинал \aleph_0, на відміну від незліченної множини зліченних ординалів ~\omega_1= {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …}
  • Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом ~\omega_1, якому відповідає кардинал \aleph_1.
  • Довільна множина x ординалів цілком упорядкована відношенням \in, при цьому \bigcap x — найменший елемент довільної множини ординалів, \bigcup x — ординал, не менший за довільний ординал x.
  • Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалів[ред.ред. код]

  1. Додавання не комутативне, зокрема: 1+\omega не дорівнює \omega+1, тому, що 1+\omega=\omega.
  2. Додавання асоціативне: \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]


Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність