Порядкове число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Визначення[ред.ред. код]

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина, що задовільняє аксіому регулярності, називається ординалом, якщо вона і кожен її елемент транзитивні: .

Аксіома регулярності є суттєвою для цього визначення, що необхіно враховувати в аксіоматичних теоріях відмінних від ZFC.

Властивості[ред.ред. код]

  •  — ординал.
  • Якщо  — ординал, то кожен елемент  — ординал.
  • Якщо  — ординал, то  — ординал (терм позначають через ). Ординали, що збігаються з для деякого , називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
  • Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
  • Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал та найменший нескінченний кардинал .
  • Існує тільки один зліченний кардинал , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …}
  • Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом , якому відповідає кардинал .
  • Довільна множина ординалів цілком упорядкована відношенням , при цьому  — найменший елемент довільної множини ординалів,  — ординал, не менший за довільний ординал .
  • Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалів[ред.ред. код]

  1. Додавання не комутативне, зокрема: не дорівнює , тому, що .
  2. Додавання асоціативне: .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]


Математична логіка Це незавершена стаття з теорії множин.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Конструктивні числа[en] | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Рекурсивні числа[en] | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Супердійсні числа[en] | Гіпердійсні числа[en] | Сюрреальні числа[en] | Номінальні числа | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність