Порядкове число

Представлення порядкових чисел до ω^ω. Кожен оберт спіралі представляє степінь ω

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Визначення

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина, що задовільняє аксіому регулярності, називається ординалом, якщо вона і кожен її елемент транзитивні: $\mathrm {Ord} (x)\iff \mathrm {Trans} (x)\wedge \forall t(t\in x\to \mathrm {Trans} (t))$.

Аксіома регулярності є суттєвою для цього визначення, що необхіно враховувати в аксіоматичних теоріях відмінних від ZFC.

Властивості

• $\varnothing$ — ординал.
• Якщо $~\alpha$ — ординал, то кожен елемент $~\alpha$ — ординал.
• Якщо $~\alpha$ — ординал, то $\alpha \cup \{\alpha \}$ — ординал (терм $\alpha \cup \{\alpha \}$ позначають через $\alpha +1$). Ординали, що збігаються з $\alpha +1$ для деякого $\alpha$, називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
• Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
• Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал $~\omega$ та найменший нескінченний кардинал $\aleph _{0}$.
• Існує тільки один зліченний кардинал $\aleph _{0}$, на відміну від незліченної множини зліченних ординалів $~\omega _{1}=$ {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, …}
• Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом $~\omega _{1}$, якому відповідає кардинал $\aleph _{1}$.
• Довільна множина $x$ ординалів цілком упорядкована відношенням $\in$, при цьому $\bigcap x$ — найменший елемент довільної множини ординалів, $\bigcup x$ — ординал, не менший за довільний ординал $x$.
• Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалів

1. Додавання не комутативне, зокрема: $1+\omega$ не дорівнює $\omega +1$, тому, що $1+\omega =\omega$.
2. Додавання асоціативне: $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma$.

Див. також

• Кардинальне число

Література

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва, Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 370 с.
• Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.