Порядкове число

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Визначення

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина, що задовільняє аксіому регулярності, називається ординалом, якщо вона і кожен її елемент транзитивні: $\mathrm{Ord}(x)\iff \mathrm{Trans}(x)\wedge\forall t(t\in x\to\mathrm{Trans}(t))$.

Аксіома регулярності є суттєвою для цього визначення, що необхіно враховувати в аксіоматичних теоріях відмінних від ZFC.

Властивості

• $\varnothing$ — ординал.
• Якщо $~\alpha$ — ординал, то кожен елемент $~\alpha$ — ординал.
• Якщо $~\alpha$ — ординал, то $\alpha\cup\{\alpha\}$ — ординал (терм $\alpha\cup\{\alpha\}$ позначають через $\alpha+1$). Ординали, що збігаються з $\alpha+1$ для деякого $\alpha$, називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
• Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
• Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал $~\omega$ та найменший нескінченний кардинал $\aleph_0$.
• Існує тільки один зліченний кардинал $\aleph_0$, на відміну від незліченної множини зліченних ординалів $~\omega_1=$ {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, …}
• Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом $~\omega_1$, якому відповідає кардинал $\aleph_1$.
• Довільна множина $x$ ординалів цілком упорядкована відношенням $\in$, при цьому $\bigcap x$ — найменший елемент довільної множини ординалів, $\bigcup x$ — ординал, не менший за довільний ординал $x$.
• Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалів

1. Додавання не комутативне, зокрема: $1+\omega$ не дорівнює $\omega+1$, тому, що $1+\omega=\omega$.
2. Додавання асоціативне: $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$.

Див. також

• Кардинальне число

Література

• Куратовский К., Мостовский А. (1970). Теория множеств. Москва: Мир. с. 416. 
• Хаусдорф Ф. (1937). Теория множеств. Москва, Ленинград: ОНТИ. с. 304. ISBN 978-5-382-00127-2. 
• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 370 с.
• Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.