Порядок величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Порядок величини — це наближена міра величини числа, що дорівнює десятковому логарифму, округленому до цілого числа. Наприклад, порядок величини 1500 — 3, оскільки 1500 можна записати у вигляді 1,5×103.

Об'єкти розмірів у різному порядку величини.

Відмінності в порядку величини можуть бути виміряні за шкалою десятинних логарифмів у «десятках»[en] (тобто множниках числа десять). [1] Числа різних порядків можна знайти, наприклад, за власними назвами степенів тисячі.

Два числа мають той же порядок величини, якщо частка від ділення одного числа на інше менше ніж 10. Наприклад, 23 і 82 мають той же порядок величини, але 23 і 820 — ні.Джон Баєс[en]

Визначення[ред. | ред. код]

Як правило, порядок величини — це число з найменшим ступенем 10, що потрібна для представлення цього числа.[2] Щоб розробити порядок величини числа , число спочатку виражається у наступному вигляді:

().

Потім, представляє порядок числа. Порядок може бути позитивним цілим числом, нулем або негативним цілим числом. У наведеній нижче таблиці перераховані по порядку величини деяких чисел згідно цього визначення:

Число У форматі Порядок величини
0.325 3.25 × 10–1 –1
0.5 5 × 10–1 –1
5 5 × 100 0
7 7 × 100 0
44 4.4 × 101 1

Використання[ред. | ред. код]

Порядки величин використовуються для приблизних порівнянь. Якщо два числа відрізняються на 1 порядок, то одне число приблизно вдесятеро більше, ніж інше. Якщо значення відрізняються на 2 порядки, то відрізняються у 100 разів. Два числа того ж порядку величини мають приблизно однаковий масштаб, але більше число завжди менше, ніж десять менших чисел.

Прописом
(довге
найменування
)
Прописом
(коротке
найменування
)
Префікс Символ Десятки Степінь
 десяти
Порядок 
величини
квадрильйона септильйонна йокто- й 0.000,000,000,000,000,000,000,001 10−24 −24
трьохмільярдна секстильйонна зепто- з 0.000,000,000,000,000,000,001 10−21 −21
трильйонна квантильйонна атто- a 0.000,000,000,000,000,001 10−18 −18
більярдна квадрильйонна фемто- ф 0.000,000,000,000,001 10−15 −15
більйонна трильйонна піко- п 0.000,000,000,001 10−12 −12
мільярдна більйонна нано- н 0.000,000,001 10−9 −9
мільйонна мільйонна мікро- мк 0.000,001 10−6 −6
тисячна тисячна мілі- м 0.001 10−3 −3
сота сота санти- c 0.01 10−2 −2
десята десята деци- д 0.1 10−1 −1
один один 1 100 0
десять десять дека- да 10 101 1
сто сто гекто- г 100 102 2
тисяча тисяча кіло- к 1,000 103 3
мільйон мільйон мега- M 1,000,000 106 6
мільярд більйон гіга- Г 1,000,000,000 109 9
більйон трильйон тера- T 1,000,000,000,000 1012 12
більярд квадрильйон пета- П 1,000,000,000,000,000 1015 15
трильйон квантильйон екса- Е 1,000,000,000,000,000,000 1018 18
трильярд секстильйон зетта- З 1,000,000,000,000,000,000,000 1021 21
квадрильйон септильйон йотта- Й 1,000,000,000,000,000,000,000,000 1024 24

Порядок величини числа[ред. | ред. код]

Порядок величини числа — це, інтуїтивно кажучи, степінь числа 10, якій воно приблизно дорівнює. Точніше, порядок величини p числа N визначається за допомогою десяткового логарифма, як правило, цілої частини логарифму, отриманої шляхом скорочення:

, (дужки означають, що буде взята ціла частина від даного виразу). Наприклад, логарифм числа 4000000 (при основі 10) дорівнює приблизно 6,602, тому це число має порядок 6. При виділені цілої частини, число такого порядку стоїть між 106 і 107. Можна провести аналогію з фразою: «він мав семизначний прибуток». Якщо число більше одиниці, його порядок — це просто кількість цифр у десятковому записі мінус один, так що його дуже легко визначити без використання калькулятора: в даному випадку він дорівнює шести. Порядок величини є наближеною позицією на логарифмічній шкалі.

Оцінка порядку величини[ред. | ред. код]

Оцінка порядку величини числа, точне значення якого невідоме (або несуттєве), — це його значення, округлене до найближчого ступеня десяти. Наприклад, оцінка порядку величини для числа між 3 млрд і 30 млрд (наприклад, населення Землі) є 10 млрд. Щоб округлити число до його найближчого порядку, треба округлити його логарифм до найближчого цілого числа. Наприклад, для 4,000,000 одержуємо оцінку порядку величини ≈107. Для числа, написаного в науковій нотації, цей логарифм, за шкалою округлення, вимагає округлення до наступного ступеня десяти, коли множник більше, ніж на квадратний корінь з десяти (близько 3.162). Наприклад, найближчий порядок величини для 1,7×108 дорівнює 8, у той час як найближчий порядок для 3,7×108 є 9.

Різниця порядків величини[ред. | ред. код]

Різниця порядків величини між двома значеннями є фактором 10. Наприклад, маса планети Сатурн у 95 разів більше, ніж маса Землі, тому Сатурн на два порядки більший за Землю за своєю масою. Порядок величини різниці називають десятковим, при вимірюванні за логарифмічною шкалою.

Порядок величини в повсякденній мові[ред. | ред. код]

В повсякденній мові зустрічаються такі вирази, наприклад: «на порядок більше», «набагато більше», «на багато порядків більше», «на пару порядків менше». У більшості випадків мається на увазі десяткові порядки, тобто ці вирази можна прочитати так: «приблизно вдесятеро більше», «приблизно в раз більше, де  — доволі велике значення», «приблизно в 100 разів менше».

Не десяткові порядки величини[ред. | ред. код]

Якщо за основу логарифму брати інші числа відмінні від 10, можна отримати не десятковий порядки величин. Стародавні греки оцінювали в нічний час яскравість небесних тіл на 6 рівнях, кожен рівень був коренем 5 зі 100 (близько 2.512) і настільки ж яскравим, як найближчий слабший рівень яскравості, і, таким чином, найяскравіший рівень був на 5 порядків яскравіше, ніж найслабший рівень, що вказувало на те, що це (1001/5) 5 або фактор, що в 100 разів яскравіше.

Наприклад, у багатьох десяткових системах числення світу використовують більшу основу, щоб краще уявити собі розміри числа, і для цього створили імена для степенів цієї основи: мільйон, мільярд та інші. У таблиці показано як числа порядків величини записані за основою 10 і за основою 1000000.

Порядок величини log10 від log1 000 000 від Коротка шкала Довга шкала
1 10 1 000 000 мільйон мільйон
2 100 1 000 000 000 000 трильйон мільярд
3 1000 1 000 000 000 000 000 000. нонілліон трильйон

У точних науках, одиниці СІ зазвичай використовуються разом з префіксами, які базуються на масштабі 1000. У комп'ютерних системах аналогічні префікси IEC мають основу 1024. В астрономії, для вимірювання яскравості зірок використовується база : якщо дві зорі відрізняються на 5 порядків видимої зоряної величини, це означає, що одна у 100 разів яскравіша за іншу.

Надвеликі числа[ред. | ред. код]

Порядки надвеликих чисел можна вимірювати різними способами: наприклад, за допомогою повторного логарифма, або за допомогою суперлогарифму. Округлення до меншого цілого дає оцінку, до якої категорії порядку віднести число. Категорії повторного логарифма:

{},

Категорії суперлогарифма  (див. тетрація):

{від'ємні числа, },

Подібно до логарифмічної шкали, існує подвійна логарифмічна шкала і суперлогарифмічна  шкала. Інтервали для категорій шкали мають на них однакову довжину, із «середніми точками» посередині між категоріями. Середина між двома точками відповідає квазіарифметичному середньому відносно функції «log log x», або «slog x».

«Середні точки» повторного логарифма (точки, що відмежують дві сусідні категорії):

{}

«Середні точки» суперлогарифму  (залежить від способу інтерполяції):

{}

Для надмалих чисел (у сенсі близькості до нуля) ці методи звичайно не підходять, але замість цього можна характеризувати порядки величини відповідних надвеликих обернених чисел.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Brians, Paus. Orders of Magnitude. Процитовано 5/9/2013. 
  2. Order of Magnitude. Wolfram MathWorld. Процитовано 3 January 2017. «Physicists and engineers use the phrase "order of magnitude" to refer to the smallest power of ten needed to represent a quantity.» 

Посилання[ред. | ред. код]

Подальше читання[ред. | ред. код]

Айзек Азімов, Міра Всесвіту (1983)