Послідовний статистичний критерій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Jump to navigation Jump to search

Послідовний статистичний критерій - послідовна статистична процедура, що використовується для перевірки статистичних гіпотез в послідовному аналізі.

Нехай спостереженню в статистичному експерименті доступна випадкова величина з невідомим (повністю або частково) розподілом (формально, в математичній нотації, , де імовірнісний простір забезпечений -алгеброю подій, , і вимірна відносно борелевої -алгебри).

Нехай перевіряється нульова гіпотеза проти альтернативи .

При кожному етапі статистичного експеримента, незалежно від інших етапів, спостерігається випадкова величина  — копія , до тих пір поки , де  — деяких (випадковий) момент зупинки. Послідовний статистичний критерій - це пара , де  — будь-яка функція від , що приймає значення 0 або 1 (рішення, відповідно, на користь нульової або альтернативної гіпотези).

Цьому визначенню може бути наданий формальний сенс за допомогою поняття моменту зупинки відносно послідовності -алгебр , що породжені випадковими величинами , . Тоді вирішуюча функція повинна бути вимірною відносно -алгебри подій, що передують моменту : .

Функція потужності критерію в "точці" визначається як . Якщо , то називається ймовірністю похибки першого роду (ймовірність відкинути нульову гіпотезу, коли вона вірна). Якщо , то називається ймовірністю похибки другого роду (ймовірність приняти нульову гіпотезу, коли вона не вірна)

Рандомізовані послідовні критерії[ред.ред. код]

Рандомізований послідовний критерій перевірки гіпотез може бути визначений як пара , де , , і , - (вимірні) функції, що приймають значення між 0 і 1, . На кажному етапі (якщо експеримент до нього дійшов) інтерпритуєтся як ймовірність зупинитися на цьому етапі, без проведення подальших спостережень, а - як ймовірність відкинути нульову гипотезу, якщо зупинка на цьому етапі відбулася.

називається рандомізованим правилом зупинки, а - рандомізованим правилом ухвалення рішення.

Якщо всі набувають тільки значень 0 (продовження спостережень) і 1 (зупинка), то правило зупинки визначає (нерандомізований) момент зупинки . Аналогічно, якщо всі набувають тільки значень 0 (прийняття нульової гіпотези) і 1 (відкидання нульової гіпотези), то правило ухвалення рішення визначає (нерандомізовану) вирішуючу функцію: , якщо .

Функція потужності критерію в "точці" визначається як , де - математичне сподівання відносно . Якщо , то - ймовірність похибки першого роду. Якщо , то ймовірність похибки другого роду рівна , де . Відповідно, середній об'єм вибірки при використанні правила зупинки визначається як , якщо (в іншому випадку ).

Посилання[ред.ред. код]

  • Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.(рос.)
  • Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.(англ.)

Дивіться також[ред.ред. код]