Послідовний статистичний критерій

Послідовний статистичний критерій - послідовна статистична процедура, що використовується для перевірки статистичних гіпотез в послідовному аналізі.

Нехай спостереженню в статистичному експерименті доступна випадкова величина $\displaystyle X$ з невідомим (повністю або частково) розподілом $\mathbb {P}$ (формально, в математичній нотації, $X:\Omega \mapsto \mathbb {R}$, де імовірнісний простір $\Omega$ забезпечений $\sigma$-алгеброю подій, ${\mathcal {F}}$, і $\displaystyle X$ вимірна відносно борелевої $\sigma$-алгебри).

Нехай перевіряється нульова гіпотеза $H_{0}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ проти альтернативи $H_{1}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$.

При кожному етапі $i\geq 1$ статистичного експерименту, незалежно від інших етапів, спостерігається випадкова величина $\displaystyle X_{i}$ — копія $\displaystyle X$, до тих пір поки $i\leq \nu$, де $\displaystyle \nu$ — деяких (випадковий) момент зупинки. Послідовний статистичний критерій - це пара $(\nu ,\delta )$, де $\displaystyle \delta$ — будь-яка функція від $(X_{1},\dots ,X_{\nu })$, що приймає значення 0 або 1 (рішення, відповідно, на користь нульової $H_{0}$ або альтернативної $H_{1}$ гіпотези).

Цьому визначенню може бути наданий формальний сенс за допомогою поняття моменту зупинки відносно послідовності $\sigma$-алгебр ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{1},X_{2},\dots X_{n})$, що породжені випадковими величинами $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$, $n=1,2,\dots$. Тоді вирішуюча функція $\displaystyle \delta$ повинна бути вимірною відносно $\sigma$-алгебри ${\mathcal {F}}_{\nu }$ подій, що передують моменту $\nu$: ${\mathcal {F}}_{\nu }=\{A\in {\mathcal {F}}:A\cap \{\nu \leq n\}\in {\mathcal {F}}_{n}\}$.

Функція потужності критерію $(\nu ,\delta )$ в "точці" $\mathbb {P}$ визначається як $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )=\mathbb {P} (\delta =1)$. Якщо $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$, то $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )$ називається ймовірністю похибки першого роду (ймовірність відкинути нульову гіпотезу, коли вона вірна). Якщо $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$, то $\mathbb {P} (\delta =0)$ називається ймовірністю похибки другого роду (ймовірність приняти нульову гіпотезу, коли вона не вірна)

Рандомізовані послідовні критерії

Рандомізований послідовний критерій перевірки гіпотез може бути визначений як пара $\displaystyle (\psi ,\phi )$, де $\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$, $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$, і $\psi _{n}=\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$, $\phi _{n}=\phi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ - (вимірні) функції, що приймають значення між 0 і 1, $n=1,2,\dots$. На кожному етапі $n\geq 1$ (якщо експеримент до нього дійшов) $\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ інтерпретується як ймовірність зупинитися на цьому етапі, без проведення подальших спостережень, а $\phi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ - як ймовірність відкинути нульову гіпотезу, якщо зупинка на цьому етапі відбулася.

$\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ називається рандомізованим правилом зупинки, а $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$ - рандомізованим правилом ухвалення рішення.

Якщо всі $\displaystyle \psi _{n}$ набувають тільки значень 0 (продовження спостережень) і 1 (зупинка), то правило зупинки $\displaystyle \psi$ визначає (нерандомізований) момент зупинки $\nu =\min\{n:\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})=1\}$. Аналогічно, якщо всі $\displaystyle \phi _{n}$ набувають тільки значень 0 (прийняття нульової гіпотези) і 1 (відкидання нульової гіпотези), то правило ухвалення рішення $\displaystyle \phi$ визначає (нерандомізовану) вирішуючу функцію: $\displaystyle \delta =\phi _{n}$, якщо $\displaystyle \psi _{n}=1$.

Функція потужності критерію $(\psi ,\phi )$ в "точці" $\mathbb {P}$ визначається як $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}\phi _{i}$, де $\mathbb {E}$ - математичне сподівання відносно $\mathbb {P}$. Якщо $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$, то $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ - ймовірність похибки першого роду. Якщо $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$, то ймовірність похибки другого роду рівна $\mathbb {P} (\nu <\infty )-\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$, де $\mathbb {P} (\nu <\infty )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}$. Відповідно, середній об'єм вибірки при використанні правила зупинки $\psi$ визначається як $E\nu =\sum _{i=1}^{\infty }i\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}$, якщо $\mathbb {P} (\nu <\infty )=1$ (в іншому випадку $E\nu =\infty$).

Посилання

• Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.(рос.)
• Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.(англ.)

Див. також

• Статистичний критерій
• Перевірка статистичних гіпотез