Послідовність цілих чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Послідовність цілих чисел — в математиці — є послідовністю (тобто впорядкований список) цілих чисел.

Послідовність цілих чисел може бути задана в явному вигляді, даючи формулу для n-й загального терміна, або неявно, даючи відношення між його умовами.

Наприклад, можна визначити наступні значення Фібоначчі (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …):

  • неявно, шляхом повторення:  ;
  • явно, за формулою Біне: .

Приклади[ред. | ред. код]

Цілочисельні послідовності, які отримали своє власне ім'я, включають:

Обчислювані та визначені послідовності[ред. | ред. код]

Цілочисельна послідовність є обчислюваною послідовністю, якщо існує алгоритм, який, з урахуванням n, обчислює an, для всіх n> 0. Набір обчислюваних цілих послідовностей є незліченнім. Безліч всіх цілих послідовностей є незліченною (з потужністю, що дорівнює потужності континууму), і тому не всі цілі послідовності є обчислювальними.

Хоча деякі цілочисельні послідовності мають визначення, не існує систематичного способу визначення того, що означає для цілочисельної послідовності можна визначити у Всесвіті або в будь-якому абсолютному (незалежному від моделі) сенсі.

Нехай безліч M є транзитивною моделлю з ZFC теорії множин. Транзитивність M передбачає, що цілі числа і цілі послідовності всередині M є фактично цілими числами й послідовностями цілих чисел. Цілочисельна послідовність є визначеною послідовністю відносно M, якщо існує деяка формула P(x) мовою теорії множин, з однією вільною змінною та без параметрів, яка є істинною в M для цілої послідовності та false у M для всіх інших цілих послідовностей. У кожному такому M існують визначені цілі послідовності, які не є обчислювальними, такі як послідовності, які кодують стрибки Тьюрінга обчислюваних множин.

Для деяких транзитивних моделей M ZFC кожна послідовність цілих чисел у M визначена відносно M; для інших лише деякі цілі послідовності (Hamkins et al. 2013). Там немає систематичного способу визначити в M самого набору послідовностей визначаються стосовно M і цього набору не може навіть існувати в якому — то такому M. Аналогічно, карта з набору формул, які визначають цілі послідовності в М до цілочисельних послідовностей, які вони визначають, не може бути визначена в М і може не існувати в M. Проте, в будь-якій моделі, що має таку карту визначеності, деякі цілісні послідовності в моделі не будуть визначені відносно моделі (Hamkins et al. 2013).

Якщо M містить всі цілі послідовності, то безліч цілочисельних послідовностей, визначених в M буде існувати в M і бути лічильно і лічильно в M.

Повні послідовності[ред. | ред. код]

Послідовність цілих чисел називається повною послідовністю, якщо кожне натуральне число можна виразити як суму значень у послідовності, використовуючи кожне значення не більше одного разу.

Див. також[ред. | ред. код]

Список літератури[ред. | ред. код]

  • Hamkins, Joel David; Linetsky, David; Reitz, Jonas (2013). Pointwise Definable Models of Set Theory. Journal of Symbolic Logic 78 (1): 139–156. arXiv:1105.4597. doi:10.2178/jsl.7801090. .

Зовнішні посилання[ред. | ред. код]