Похідна Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Похідна Лі тензорного поля за напрямком векторного поля  — головна лінійна частина приросту тензорного поля при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем .

Зазвичай позначається .

Означення[ред.ред. код]

Аксіоматичне[ред.ред. код]

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

  • Похідна Лі від скалярного поля є похідною за напрямком .
  • Похідна Лі від векторного поля є дужка Лі векторних полів.
  • Для довільних векторних полів 1-форми виконується рівність
  • (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується

Через потік[ред.ред. код]

Нехай  — -вимірний гладкий многовид і  — векторне поле на .

Розглянемо потік за , що визначається співвідношенням:

Обернене відображення до диференціала ,

однозначно продовжується до гомоморфізму алгебри тензорів над у алгебру тензорів над . Таким чином довільне тензорне поле , однопараметричне сімейство полів . Похідна Лі може бути означена як

Вираз у координатах[ред.ред. код]

, де  — скаляр.

, де  — вектор, а  — його компоненти.

, де  — 1-форма, а  — її компоненти.

, де  — 2-форма (метрика), а  — її компоненти.

Похідна Лі для тензорного поля у неголономному репері[ред.ред. код]

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері , тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

,

де , і введені наступні позначення:

,

 — об’єкт неголономності.

Властивості[ред.ред. код]

  • -лінійно за і за . Тут  — довільне тензорне поле.
  • Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
  • На супералгебрі зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
  • Нехай і  — векторні поля на многовиді, тоді
є диференціюванням алгебри , тому існує векторне поле , що називається дужкою Лі векторних полів (також скобка Пуассона або комутатор), для якого
  • Формула гомотопії. . Тут  — оператор внутрішнього диференціювання форм. ()
  • Як наслідок,
  • . Тут  — гладкий перетин (природного) векторного розшарування (наприклад, будь-яке тензорне поле),  — підняття векторного поля на ,  — оператор вертикального проектування на .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М. : Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.