Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Правило добутку — характерна властивість диференціальних операторів , також відома як тотожність Лейбніца .
δ
(
f
×
g
)
=
(
δ
f
)
×
g
+
f
×
(
δ
g
)
{\displaystyle \ \delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g)}
Найважливішим і найпростішим прикладом є диференціювання функцій дійсної змінної . Якщо
f
,
g
{\displaystyle f,g}
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}
Подібна формула справедлива і для голоморфних функцій комплексної змінної .
Окрім аналізу диференціальні оператори часто виникають в диференціальній геометрії , абстрактній алгебрі , теорії груп Лі .
Доведення для функцій дійсної змінної [ ред. | ред. код ] Нехай
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}
f , g — диференційовні в точці x . Тоді з властивостей границь одержуються наступні рівності, які доводять правило добутку для функцій дійсної змінної:
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}
=
lim
Δ
x
→
0
[
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
]
⋅
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
]
Δ
x
{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}}
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
+
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}}
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
Варіації та узагальнення [ ред. | ред. код ] Нехай
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}
k елементів на яких діє оператор диференціювання (наприклад функції дійсної змінної диференційовні в певній точці для прикладу звичайної похідної ). Тоді за допомогою математичної індукції правило добутку можна узагальнити для випадку добутку 'k' елементів:
δ
[
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
]
=
∑
i
=
1
k
(
δ
(
f
i
(
x
)
)
∏
j
≠
i
f
j
(
x
)
)
.
{\displaystyle \delta \left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\delta (f_{i}(x))\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right).}
Позначивши
δ
2
(
f
)
=
δ
(
δ
(
f
)
)
,
δ
3
(
f
)
=
δ
(
δ
2
(
f
)
)
{\displaystyle \delta ^{2}(f)=\delta (\delta (f)),\,\delta ^{3}(f)=\delta (\delta ^{2}(f))}
δ
n
{\displaystyle \delta ^{n}}
бінома Ньютона :
δ
n
(
f
g
)
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
⋅
δ
k
(
f
)
⋅
δ
n
−
k
(
g
)
.
{\displaystyle \delta ^{n}(fg)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}\cdot \delta ^{k}(f)\cdot \delta ^{n-k}(g).}
Для випадку добутку багатьох елементів справедлива формула аналогічна до поліноміальної формули :
δ
n
(
∏
i
=
1
k
f
i
)
=
∑
j
1
+
j
2
+
.
.
.
+
j
k
=
n
(
n
j
1
,
j
2
,
.
.
.
,
j
k
)
∏
i
=
1
k
δ
i
f
i
.
{\displaystyle \delta ^{n}\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)=\sum _{j_{1}+j_{2}+...+j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},...,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}\delta ^{i}{f_{i}}.}
Формули для похідних добутку функцій можна узагальнити на випадок функцій багатьох змінних. Нехай
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
g
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})}
n дійсних змінних, диференційовними необхідну кількість разів по різних змінних,
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}
∂
α
(
f
)
=
∂
1
α
1
∂
2
α
2
…
∂
n
α
n
(
f
)
=
∂
|
α
|
f
∂
x
1
α
1
∂
x
2
α
2
…
∂
x
n
α
n
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(f)=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}(f)={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}
∂
α
(
f
g
)
=
∑
ν
⩽
α
(
α
ν
)
∂
ν
f
∂
α
−
ν
g
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}
біноміальних коефіцієнтів , факторіалів для мультиіндексів дано у статті Мультиіндекс .
Операція
δ
l
:
⊕
k
Ω
k
→
⊕
k
Ω
k
+
l
{\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}}
градуйованій алгебрі
Ω
=
⊕
k
Ω
k
{\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}}
градуйованій тотожності Лейбніца , якщо для будь-яких
K
∈
Ω
k
{\displaystyle K\in \Omega ^{k}}
F
∈
Ω
{\displaystyle F\in \Omega }
δ
l
(
K
∧
F
)
=
δ
l
(
K
)
∧
F
+
(
−
1
)
k
l
K
∧
δ
l
(
F
)
{\displaystyle \delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)}
де
∧
{\displaystyle \wedge }
Ω
{\displaystyle \Omega }
диференціальних форм задовольняє цій тотожності.
![{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c7631440055bd6a8a28925affb98aa2be669ed)
![{\displaystyle \delta \left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\delta (f_{i}(x))\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6830831a71b149d88e856435e6ce46f3e2dc949b)
