Правило повного математичного сподівання

В теорії ймовірностей твердження відоме як закон повного математичного сподівання, закон повторних сподівань, правило вежі, закон Адама чи теорема згладжування стверджує, що якщо $X$ — випадкова величина, з визначеним матсподіванням $\operatorname {E} (X)$, а $Y$ — довільна випадкова величина на тому ймовірнісному просторі.

$\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),$

тобто значення сподівання умовного матсподівання значення $X$ для певного $Y$ дорівнює матсподіванню $X$.

У спеціальному випадку, для ${\left\{A_{i}\right\}}_{i}$ - скінченного або зліченного розбиття простору елементарних подій, тоді

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

Приклад

Припустимо, що дві фабрики постачають на ринок лампочки. Лампочки із заводу $X$ працюють в середньому 5000 годин, тоді як лампи заводу $Y$ працюють в середньому впродовж 4000 годин. Відомо, що фабрика $X$ постачає 60% від загальної кількості наявних ламп. Яка очікувана тривалість часу роботи придбаної лампочки?

Застосовуючи закон повного матсподівання отримаємо:

$\operatorname {E} (L)=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)=5000(0.6)+4000(0.4)=4600$

де

• $\operatorname {E} (L)$ — тривалість роботи лампочки;
• $\operatorname {P} (X)={6 \over 10}$ — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі X;
• $\operatorname {P} (Y)={4 \over 10}$ — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі Y;
• $\operatorname {E} (L\mid X)=5000$ — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі X;
• $\operatorname {E} (L\mid Y)=4000$ — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі Y.

Отже, очікувана тривалість роботи кожної придбаної лампочки дорівнює 4600 годин.

Доведення для скінченних і зліченних випадків

Нехай випадкові величини $X$ та $Y$ визначені на одному ймовірнісному просторі, припустимо скінченну чи зліченну множину скінченних значень. Припустимо що $\operatorname {E} [X]$ визначена, тобто $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$. Якщо $\{A_{i}\}$ — подрібнення ймовірнісного простору $\Omega$, то

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

Доведення

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}$

Якщо ряд скінченний, то можемо змінити порядок сумування й попередній вираз запишеться

${\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}$

Якщо ж, з іншого боку, ряд нескінченний, то його збіжність не може бути умовною через припущення, що $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .$ Ряд збіжний абсолютно якщо обидвоє, $\operatorname {E} [X_{+}]$ і $\operatorname {E} [X_{-}]$ - скінченні і розбіжний до нескінченності, якщо чи $\operatorname {E} [X_{+}]$чи $\operatorname {E} [X_{-}]$ — нескінченне. В обидвох випадках порядок сумування можна змінити не змінюючи суми.

Доведення у загальному випадку

Нехай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ — ймовірнісний простір, з визначеними на ньому σ-алгебрами ${\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}$. Для випадкової величини $X$ на такому просторі, закон згладжування стверджує, що якщо $\operatorname {E} [X]$ - визначене, тобто $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$, тоді

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(майже напевно)}}.$

Доведення. Завдяки тому, що умовне матсподівання це похідна Радона – Нікодима, доведення закону згладжування зводиться до перевірки таких двох властивостей:

• $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]$ є ${\mathcal {G}}_{1}$-вимірною
• $\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,$ для всіх $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.$

Перша з цих властивостей випливає з означення умовного матсподівання. Для доведення другого,

${\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}$

отже інтеграл $\textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P}$ визначений (не дорівнює $\pm \infty$).

Друга властивість правильна, бо з $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}$ випливає

$\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .$

Висновок. В особливому випадку, коли ${\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}$ і ${\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)$, закон згладжування зводиться до

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$

Доведення формули розбиття

${\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}$

де $I_{A_{i}}$ - характеристична функція множини $A_{i}$.

Якщо розбиття ${\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}$ - скінченне, то, за властивістю лінійності, попередній вираз записується у вигляді

$\operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),$

що й треба було показати.

Якщо ж розбиття ${\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }$ - нескінченне, то застосовуючи теорему про мажоровану збіжність можемо показати

$\operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).$

Справді, для кожного $n\geq 0$,

$\left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.$

Позаяк кожен елемент множини $\Omega$ належить певному елементу подрібнення $A_{i}$, легко перевірити що послідовність ${\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }$ поточково збіжна до X. За припущенням у твердженні, $\operatorname {E} |X|<\infty$. Застосовуючи теорему про мажоровану збіжність отримуємо бажане твердження.

Див. також

• Основна теорема покеру для одного практичного застосування.
• Формула повної ймовірності
• Закон повної дисперсії
• Закон повної коваріації
• Закон сукупної кумуляції
• Розподіл добутку двох випадкових величин, див. підрозділ про сподівання (застосування Закону для доведення того, що сподівання добутку це добуток сподівань)

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.  (англ.) (Теорема 34.4)
• Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)