Правило частки при диференціюванні

Правило частки — формула для знаходження похідної частки двох функцій.

Якщо $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ , обидві функції $f$ та $g$ є диференційовними і $g(x)\neq 0.$ Правило знаходження похідної $h (x)$ :

h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}.

Приклади

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}$

Правило оберненої функції

Докладніше: Теорема про обернену функцію

Є частковим випадком частки при $f(x)=1$ :

h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.

Використовуючи диференціювання складеної функції отримаємо такий же результат.

Доведення

з використанням границь

Для $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ :

${\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}$ .