Правильний додекаедр

Додекаедр, натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі

Тривимірна модель правильного додекаедра

Правильний додека́едр (від грец. δώδεκα — дванадцять і грец. ἕδρα — грань) — правильний дванадцятигранник, об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 п'ятикутних граней, 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.

Формули

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

$A=(3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}})a^{2}\approx 20.6457288a^{2}$

$V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.66311896a^{3}.$

Радіус описаної сфери (сфери що проходить через всі вершини):

$R=a\phi {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1.4a$

Радіус середньої сфери (сфери що проходить через центри всіх ребер):

ʀ$={\frac {a\phi ^{2}}{2}}={\frac {a}{4}}(3+{\sqrt {5}})\approx 1.3a$

Радіус вписаної сфери (сфери що проходить через центри всіх граней):

$r={\frac {a\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1.1a$

Двогранний кут між гранями:

$\alpha =2\arctan {\phi }\approx 116.56^{\circ }$, де $\phi$ - золотий перетин

Приклади в природі

Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра.

Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

Властивості

• Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
• Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
• Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
• У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
• Додекаедр має три зірчасті форми.

Декартові координати

Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами: (±1, ±1, ±1): (0, ±1/φ, ±φ): (±1/φ, ±φ, 0): (±φ, 0, ±1/φ) де φ = (1+√5)/2 — золотий перетин. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116,565 градусів.

Пов'язані многогранники та мозаїки

Сімейство однорідних ікосаедральних многогранників

Симетрія: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двоїсті до однорідних многогранників
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

n32 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.3.3.n

Симетрія n32	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Кирпаті фігури
Конфігурація	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фігури
Конфігурація	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Див. також

• Ікосіан
• Напівдодекаедр