Правильний многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пра́вильний багатоку́тник (многоку́тник, поліго́н) — багатокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Властивості[ред.ред. код]

Координати[ред.ред. код]

Нехай та  — координати центра, а  — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола,  — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного багатокутника визначаються формулами

,
,

де .

Розміри[ред.ред. код]

Нехай  — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює

,

а довжина сторони багатокутника рівна

.

Площа[ред.ред. код]

Площа правильного багатокутника з числом сторін та довжиною сторони обчислюється за формулою

.

Площа правильного багатокутника з числом сторін , вписаного в коло радіусу обчислюється за формулою

.

Площа правильного багатокутника з числом сторін , описаного навколо кола радіусу обчислюється за формулою

(площа основи n-кутної правильної призми)

Правильний багатокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону багатокутника, а як висоту — апофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто

де S — площа, b — основа, h — висота. Отже, площа правильного багатокутника обчислюється за формулою:

де l — сторона, a — апофема, n — кількість сторін, p — периметр.

Обернені формули:



Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного багатокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для правильного трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.

Застосування[ред.ред. код]

Правильними багатокутниками за визначенням є грані правильних багатогранників.

Древньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні багатокутники для обчислення числа . Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього багатокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.[1]

Історія[ред.ред. код]

Побудова правильного багатокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий багатокутник.

Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних багатокутників у Книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Окрім цього, він вже визначив певний критерій можливості побудувати багатокутник: хоча цей критерій і не було озвучено в «Началах», древньогрецькі математики вміли будувати багатокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований багатокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати багатокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то можна побудувати і багатокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні математики вміли будувати правильні багатокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число,  — числа 3 та 5, а приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли число сторін правильного багатокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться 17, 257 и 65537, його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що правильний багатокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де  — ціле невід'ємне число, приймають значення 0 або 1, а  — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено П'єром Лораном Ванцелем 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних багатокутників поставило знаходження побудов правильного 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було знайдено Йоханесом Ерхінгером 1825 року, другу — Фрідріхом Юліусом Рішело 1832 року, третю — Іоганом Густавом Гермесом 1894 року.

З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Жуков А. В. Про число . — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.