Правильний многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Пра́вильний многоку́тник (багатоку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Властивості[ред. | ред. код]

Координати[ред. | ред. код]

Нехай та  — координати центра, а  — радіус описаного навколо правильного многокутника кола,  — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

,
,

де .

Розміри[ред. | ред. код]

Нехай  — радіус описаного навколо правильного многокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює

,

а довжина сторони многокутника рівна

.

Площа[ред. | ред. код]

Площа правильного многокутника з числом сторін та довжиною сторони обчислюється за формулою

.

Площа правильного многокутника з числом сторін , вписаного в коло радіусу обчислюється за формулою

.

Площа правильного многокутника з числом сторін , описаного навколо кола радіусу обчислюється за формулою

(площа основи n-кутної правильної призми)

Правильний многокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону многокутника, а як висоту — апофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто

де S — площа, b — основа, h — висота. Отже, площа правильного многокутника обчислюється за формулою:

де l — сторона, a — апофема, n — кількість сторін, p — периметр.

Обернені формули:



Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного многокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для правильного трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.

Застосування[ред. | ред. код]

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Давньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа . Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.[1]

Історія[ред. | ред. код]

Побудова правильного многокутника (n-кутника) за допомогою циркуля та лінійки залишалась проблемою для математиків до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» описав побудову правильних многокутників у Книзі IV і вирішив задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Він визначив певний критерій можливості побудувати многокутник, хоча цей критерій і не було описано в «Началах». Давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник із кількістю сторін 2m — 1: поділом дуги на дві частини. Таким чином із двох півкіл можна побудувати квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в тій же книзі Евклід вказав і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, де r та sвзаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник із r × s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число,  — числа 3 та 5, а приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли кількість сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, належать 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, із цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо кількість його сторін дорівнює , де  — ціле невід'ємне число, набувають значення 0 або 1, а  — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною, але вперше це довів П'єр Лоран Ванцель 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставила побудова правильних 17-, 257- та 65537-кутників. Першу винайшов Йоханес Ерхінгер 1825 року, другу — Фрідріх Юліус Рішело 1832 року, третю — Іоган Густав Гермес 1894 року.

Відтоді проблема вважається повністю вирішеною.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Жуков А. В. Про число . — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.