Правильні багатовимірні багатогранники

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Правильний n-вимірний багатогранникбагатогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі. Правильні тривимірні багатогранники називаються також платоновими тілами.

Визначення[ред. | ред. код]

Прапором n-вимірного багатогранника називається набір його граней , де є -вимірна грань багатогранника Р, причому для .

Правильний n-вимірний багатогранник — це опуклий n-вимірний багатогранник , у якого для будь-яких двох його прапорів і знайдеться рух , який переводить в .

Класифікація[ред. | ред. код]

В розмірності n = 4[ред. | ред. код]

Існує 6 правильних чотиривимірних багатогранників (багатокомірників):

Назва Зображення (діаграма Шлегеля) Символ
Шлефли
Комірка Число

комірок

Число

граней

Число

ребер

Число

вершин

5-комірник Schlegel wireframe 5-cell.png {3,3,3} правильний
тетраедр
5 10 10 5
Тесеракт Schlegel wireframe 8-cell.png {4,3,3} куб 8 24 32 16
16-комірник Schlegel wireframe 16-cell.png {3,3,4} правильний
тетраедр
16 32 24 8
24-комірник Schlegel wireframe 24-cell.png {3,4,3} октаедр 24 96 96 24
120-комірник Schlegel wireframe 120-cell.png {5,3,3} додекаедр 120 720 1200 600
600-комірник Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png {3,3,5} правильний
тетраедр
600 1200 720 120

В розмірності n ≥ 5[ред. | ред. код]

У кожній з більш високих розмірностей існує по 3 правильних багатогранники (політопи):

Назва Символ Шлефлі
n-вимірний

правильний симплекс

{3;3;...;3;3}
n-вимірний

гіперкуб

{4;3;...;3;3}
n-вимірний

гіпероктаедр

{3;3;...;3;4}

Геометричні властивості[ред. | ред. код]

Кути[ред. | ред. код]

Двогранний кут між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного багатогранника, заданого своїм символом Шлефлі , визначається за формулою[1][2][3]

де — половина кута між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного багатогранника.

Радіуси, об'єми[ред. | ред. код]

Радіус вписаної N-вимірної сфери:

де — радіус вписаної (N-1)-вимірної сфери межі.

Об'єм N-вимірного багатогранника:

де — об'єм (N-1)-вимірної межі, — кількість (N-1)-вимірних граней.

Замощення[ред. | ред. код]

В розмірності n = 4[ред. | ред. код]

В розмірності n ≥ 5[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
  2. Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.
  3. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

Посилання[ред. | ред. код]

  • Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М. : МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2.